여러 대표적인 함수의
테일러 급수 를 다루는 문서이다.
아래의 예들은
x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.
2. 무한등비급수 1 1 − x \dfrac 1{1-x} 1 − x 1
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1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ⋯ , ( ∣ x ∣ < 1 ) \displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots, (|x|<1) 1 − x 1 = n = 0 ∑ ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯⋯ , ( ∣ x ∣ < 1 )
그래프 보기 k k k 값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역)
∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1 외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.
저
∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바
라마누잔합 이다.
3. 이항급수 ( 1 + x ) α \left(1+x\right)^\alpha ( 1 + x ) α
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( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n = 1 + α 1 ! x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ ⋯ + ∏ r = 0 n − 1 ( α − r ) n ! x n + ⋯ ⋯ \displaystyle \left(1+x\right)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!} x + \frac{\alpha \left(\alpha - 1\right)}{2!} x^2 + \cdots\cdots + \frac{\displaystyle \prod_{r=0}^{n-1} \left(\alpha - r \right)}{n!} x^n + \cdots\cdots ( 1 + x ) α = n = 0 ∑ ∞ ( n α ) x n = 1 + 1 ! α x + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + ⋯⋯ + n ! r = 0 ∏ n − 1 ( α − r ) x n + ⋯⋯
구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
y = ( 1 + x ) α = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ ⋯ = ∑ n = 0 ∞ a n x n \displaystyle y=\left( 1+x \right)^\alpha=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n y = ( 1 + x ) α = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ a n x n
양 변을 미분하면
y ′ = α ( 1 + x ) α − 1 = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + ⋯ ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n \displaystyle y' = \alpha \left( 1+x \right)^{\alpha-1}=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1}x^n y ′ = α ( 1 + x ) α − 1 = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n
위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
α ( 1 + x ) α = α y = ( 1 + x ) y ′ ∴ y ′ = α y − x y ′ \alpha \left( 1+x \right)^\alpha = \alpha y = \left( 1+x \right)y' \\ \therefore y'=\alpha y-xy' α ( 1 + x ) α = α y = ( 1 + x ) y ′ ∴ y ′ = α y − x y ′
x y ′ = 0 + a 1 x + 2 a 2 x 2 + ⋯ ⋯ = ∑ n = 0 ∞ n a n x n \displaystyle xy'=0+a_1 x+2a_2 x^2+\cdots\cdots =\sum_{n=0}^\infty na_n x^n x y ′ = 0 + a 1 x + 2 a 2 x 2 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ n a n x n
이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 점화식이 나온다.
∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n = α ∑ n = 0 ∞ a n x n − ∑ n = 0 ∞ n a n x n = ∑ n = 0 ∞ ( α − n ) a n x n ( n + 1 ) a n + 1 = ( α − n ) a n , a 0 = 1 a n + 1 = α − n n + 1 a n = ( α − n ) ( α − n + 1 ) ( n + 1 ) n a n − 1 = ( α − n ) ( α − n + 1 ) ( α − n + 2 ) ( n + 1 ) n ( n − 1 ) a n − 2 = ⋯ ⋯ = 1 ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( α − n + i ) a 0 = 1 ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( α − i ) = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ⋯ ( α − n + 1 ) ( α − n ) ( n + 1 ) ! = ( α n + 1 ) \displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^\infty a_n x^n- \sum_{n=0}^\infty na_n x^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\alpha - n \right) a_n x^n \end{aligned} \\ \left( n+1 \right)a_{n+1} = \left( \alpha-n \right)a_n, \ a_0=1 \\ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{\alpha - n}{n+1}a_n = \frac{\left( \alpha - n \right) \left( \alpha -n+1 \right)}{\left(n+1 \right) n} a_{n-1} = \frac{\left( \alpha -n \right) \left( \alpha -n+1 \right) \left( \alpha -n+2 \right)}{\left( n+1 \right) n \left( n-1 \right)} a_{n-2} = \cdots\cdots \\ &= \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -n+i \right) a_0 = \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -i \right) = \frac{\alpha \left(\alpha -1 \right) \left(\alpha -2 \right) \cdots\cdots \left(\alpha -n+1 \right) \left(\alpha -n \right)}{(n+1)!} \\ &= \binom\alpha{n+1} \end{aligned} n = 0 ∑ ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n = α n = 0 ∑ ∞ a n x n − n = 0 ∑ ∞ n a n x n = n = 0 ∑ ∞ ( α − n ) a n x n ( n + 1 ) a n + 1 = ( α − n ) a n , a 0 = 1 a n + 1 = n + 1 α − n a n = ( n + 1 ) n ( α − n ) ( α − n + 1 ) a n − 1 = ( n + 1 ) n ( n − 1 ) ( α − n ) ( α − n + 1 ) ( α − n + 2 ) a n − 2 = ⋯⋯ = ( n + 1 )! 1 i = 0 ∏ n ( α − n + i ) a 0 = ( n + 1 )! 1 i = 0 ∏ n ( α − i ) = ( n + 1 )! α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯⋯ ( α − n + 1 ) ( α − n ) = ( n + 1 α )
따라서
a n = ( α n ) a_n=\dbinom\alpha n a n = ( n α ) 임을 알 수 있다. 참고로
α \alpha α 는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질
이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서
α = − 1 \alpha=-1 α = − 1 ,
x = − t x=-t x = − t 에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.
이 이항급수의 테일러 급수는
과학 ,
공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로
x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 일 때
n = 1 n=1 n = 1 항까지 취해
( 1 + x ) α ≈ 1 + α x \left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x ( 1 + x ) α ≈ 1 + αx 로 근사하는 경우가 많은데,
x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 이면
x 2 x^2 x 2 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ ⋯ \displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 + ⋯⋯
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ ⋯ \displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n )! x 2 n + ⋯⋯
사인과 코사인의
n n n 계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
( sin x ) ( n ) = sin ( x + n π 2 ) \left( \sin x \right)^{(n)} = \sin \left(x+\dfrac{n\pi}2\right) ( sin x ) ( n ) = sin ( x + 2 nπ ) ( cos x ) ( n ) = cos ( x + n π 2 ) \left( \cos x \right)^{(n)} = \cos \left(x+\dfrac{n\pi}2\right) ( cos x ) ( n ) = cos ( x + 2 nπ ) x = 0 x=0 x = 0 ,
n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ⋯ n=1, \ 2, \ 3, \cdots\cdots n = 1 , 2 , 3 , ⋯⋯ 을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.
lim x → 0 sin x x = 1 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1 x → 0 lim x sin x = 1
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ ⋯ \displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots sin x = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 + ⋯⋯ 에서 양변을
x x x 로 나누면
sin x x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ ⋯ \displaystyle \frac{\sin x}x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots x sin x = 1 − 3 ! x 2 + 5 ! x 4 − 7 ! x 6 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + ⋯⋯ 이 되는데
x → 0 x \to 0 x → 0 일 때 이차항부터는 모두
0 0 0 이 되어 사라진다.
귀찮으면 로피탈 써도 된다.노가다(수학) 문서에서 제시한
sin x x \dfrac{\sin x}x x sin x 는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터
∣ x ∣ ≪ 1 |x| \ll 1 ∣ x ∣ ≪ 1 이면
sin x ≈ x \sin x \approx x sin x ≈ x 라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
tan x \tan x tan x ,
csc x \csc x csc x ,
cot x \cot x cot x 는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할
오일러의 공식 을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식
이라 일반항이 복잡하고
베르누이 수열 (
B n B_n B n )이라는 특이한
수열 을 매개로 정의된다. 심지어
sec x \sec x sec x 는
베르누이 수열 로도 간단하게 정의가 안 돼서
오일러 수열 (
E n E_n E n )이라는 또 다른 수열을 이용하는데,
테일러 급수 말고도
거듭제곱 합의 공식 에도 쓰이는
베르누이 수열 과는 달리
오일러 수열 은 오로지
sec x \sec x sec x 와
s e c h x \mathrm{sech}\, x sech x 만을 나타내기 위해 쓰인다.
안습 각 일반항의 유도 과정은
베르누이 수열 ,
오일러 수열 문서 참조
tan x = ∑ n = 1 ∞ { ( − 4 ) n − ( − 16 ) n } B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ ⋯ csc x = ∑ n = 0 ∞ { 2 ( − 1 ) n − ( − 4 ) n } B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + ⋯ ⋯ cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x − 1 3 x − 1 45 x 3 − 2 945 x 5 − ⋯ ⋯ sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + ⋯ ⋯ \displaystyle \begin{aligned} \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left\{ \left( -4 \right)^n - \left( -16 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left\{ 2 \left( -1 \right)^n - \left( -4 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 16 x + \frac 7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -4 \right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 13 x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -1 \right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac 12 x^2 + \frac 5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned} tan x csc x cot x sec x = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! { ( − 4 ) n − ( − 16 ) n } B 2 n x 2 n − 1 = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + 315 17 x 7 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! { 2 ( − 1 ) n − ( − 4 ) n } B 2 n x 2 n − 1 = x 1 + 6 1 x + 360 7 x 3 + 15120 31 x 5 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 4 ) n B 2 n x 2 n − 1 = x 1 − 3 1 x − 45 1 x 3 − 945 2 x 5 − ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n E 2 n x 2 n = 1 + 2 1 x 2 + 24 5 x 4 + 720 61 x 6 + ⋯⋯
arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 ( − 1 2 n ) x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + 1 6 x 3 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + ⋯ ⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 ) \displaystyle \begin{aligned} \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n+1)!!}{(2n)!! \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac 16 x^3 + \frac 3{40}x^5 + \frac 5{112}x^7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned} arcsin x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n ( n − 2 1 ) x 2 n + 1 = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )!! ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 )!! x 2 n + 1 = n = 0 ∑ ∞ 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n )! x 2 n + 1 = x + 6 1 x 3 + 40 3 x 5 + 112 5 x 7 + ⋯⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 )
! ! !! !! 은 이중계승 기호로
2 2 2 씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉
( 2 n ) ! ! = 2 n ⋅ ( 2 n − 2 ) ⋅ ( 2 n − 4 ) ⋯ ⋯ 4 ⋅ 2 (2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2 ( 2 n )!! = 2 n ⋅ ( 2 n − 2 ) ⋅ ( 2 n − 4 ) ⋯⋯ 4 ⋅ 2 이다.
arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = π 2 − x − 1 6 x 3 − 3 40 x 5 − 5 112 x 7 − ⋯ ⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 ) arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ ⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 ) \displaystyle \begin{aligned} \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x = \frac \pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac 16 x^3 - \frac 3{40}x^5 - \frac 5{112}x^7 - \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \\ \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned} arccos x arctan x = 2 π − arcsin x = 2 π − n = 0 ∑ ∞ 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n )! x 2 n + 1 = 2 π − x − 6 1 x 3 − 40 3 x 5 − 112 5 x 7 − ⋯⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 ) = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + ⋯⋯ ( ∣ x ∣ ≤ 1 )
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서
적절 하게 정리해주면 된다.
d d x arcsin x = 1 1 − x 2 = ( 1 − x 2 ) − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 2 n ) ( − x 2 ) n ∴ arcsin x = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 2 n ) ( − t 2 ) n d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 ( − 1 2 n ) x 2 n + 1 \displaystyle \begin{aligned} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x &= \frac 1{\sqrt{1-x^2}} = \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac 12} = \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac 12}n \left( -x^2 \right)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n \left( -t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned} d x d arcsin x ∴ arcsin x = 1 − x 2 1 = ( 1 − x 2 ) − 2 1 = n = 0 ∑ ∞ ( n − 2 1 ) ( − x 2 ) n = ∫ 0 x n = 0 ∑ ∞ ( n − 2 1 ) ( − t 2 ) n d t = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n ( n − 2 1 ) x 2 n + 1
arcsin x + arccos x = π 2 ∴ arccos x = π 2 − arcsin x \displaystyle \arcsin x + \arccos x = \frac \pi2 \\ \therefore \arccos x = \frac \pi2 - \arcsin x arcsin x + arccos x = 2 π ∴ arccos x = 2 π − arcsin x
arctan x = ∫ 0 x d t 1 + t 2 = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ ( − t 2 ) n d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \displaystyle \arctan x=\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \left(-t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} arctan x = ∫ 0 x 1 + t 2 d t = ∫ 0 x n = 0 ∑ ∞ ( − t 2 ) n d t = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로,
arcsin 1 = π 2 \arcsin 1 = \dfrac \pi2 arcsin 1 = 2 π 및
arctan 1 = π 4 \arctan 1=\dfrac \pi4 arctan 1 = 4 π 를 이용하는 것이다.
π 2 = 1 + 1 6 + 3 40 + 5 112 + 35 1152 + ⋯ ⋯ ∴ π = 2 + 1 3 + 3 20 + 5 56 + 35 576 + ⋯ ⋯ \displaystyle \begin{aligned} \frac \pi2 &= 1 + \frac 16 + \frac 3{40} + \frac 5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac 13 + \frac 3{20} + \frac 5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned} 2 π ∴ π = 1 + 6 1 + 40 3 + 112 5 + 1152 35 + ⋯⋯ = 2 + 3 1 + 20 3 + 56 5 + 576 35 + ⋯⋯
또는
π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ ⋯ ∴ π = 4 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − ⋯ ⋯ = 4 − 8 3 ⋅ 5 − 8 7 ⋅ 9 − 8 11 ⋅ 13 − ⋯ ⋯ \displaystyle \begin{aligned} \frac \pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} = 1 - \frac 13 + \frac 15 - \frac 17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac 43 + \frac 45 - \frac 47 + \frac 49 - \cdots\cdots = 4-\frac 8{3\cdot 5} - \frac 8{7\cdot 9} - \frac 8{11\cdot 13} - \cdots\cdots \end{aligned} 4 π ∴ π = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯⋯ = 4 − 3 4 + 5 4 − 7 4 + 9 4 − ⋯⋯ = 4 − 3 ⋅ 5 8 − 7 ⋅ 9 8 − 11 ⋅ 13 8 − ⋯⋯
그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.
아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로
미친마친 공식(Machin-like formula)이다. 서로소인 정수
a i a_i a i ,
b i b_i b i 에 대해
arctan a 1 b 1 + arctan a 2 b 2 = arctan a 1 b 2 + a 2 b 1 b 1 b 2 − a 1 a 2 \arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2} arctan b 1 a 1 + arctan b 2 a 2 = arctan b 1 b 2 − a 1 a 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
(단, 위 값이
π 2 \dfrac \pi2 2 π 보다 작아야 성립)
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
π 4 = arctan 1 2 + arctan 1 3 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 \dfrac \pi4 = \arctan\dfrac 12 + \arctan\dfrac 13 = 4\arctan\dfrac 15 - \arctan\dfrac 1{239} 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 = 4 arctan 5 1 − arctan 239 1 6. 지수함수 e x e^x e x
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e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ ⋯ + x n n ! + ⋯ ⋯ \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + ⋯⋯ + n ! x n + ⋯⋯
f ( x ) = e x f\left(x\right) = e^x f ( x ) = e x 의 미분은 자기 자신, 즉
f ′ ( x ) = e x f'\left(x\right) = e^x f ′ ( x ) = e x 이다. 따라서
f ( n ) ( 0 ) = 1 f^{(n)}\left(0\right) = 1 f ( n ) ( 0 ) = 1 이 되므로,
e x = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}x^n e x = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( 0 ) x n = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 x n 이 성립한다.
이 식에서
x = 1 x=1 x = 1 을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ ⋯ e = \dfrac 1{0!} + \dfrac 1{1!} + \dfrac 1{2!} + \dfrac 1{3!} + \dfrac 1{4!} + \cdots\cdots e = 0 ! 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 + 3 ! 1 + 4 ! 1 + ⋯⋯
이를 계산하면
e e e 의 값을 구할 수 있다.
n = 4 n=4 n = 4 까지만 계산해 주어도
65 24 = 2.708333 ⋯ ⋯ \dfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots 24 65 = 2.708333 ⋯⋯ 가 되어 참값
2.7182818284 ⋯ ⋯ 2.7182818284\cdots\cdots 2.7182818284 ⋯⋯ 와의 오차가 약
0.37 % 0.37\% 0.37% 밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim n → ∞ ∑ r = 0 n ( n r ) 1 n r = lim n → ∞ ( n ! 0 ! n ! 1 n 0 + ∑ r = 1 n ( n r ) 1 n r ) = lim n → ∞ { 1 0 ! + ∑ r = 1 n n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ⋯ ( n − r + 2 ) ( n − r + 1 ) r ! 1 n r } = lim n → ∞ { 1 0 ! + ∑ r = 1 n 1 ⋅ ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ⋯ ( 1 − r − 2 n ) ( 1 − r − 1 n ) r ! } = lim n → ∞ { 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + ⋯ ⋯ + 1 n ! ∏ r = 1 n ( 1 − r − 1 n ) } = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! \displaystyle \begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned} e = n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n = n → ∞ lim r = 0 ∑ n ( r n ) n r 1 = n → ∞ lim ( 0 ! n ! n ! n 0 1 + r = 1 ∑ n ( r n ) n r 1 ) = n → ∞ lim { 0 ! 1 + r = 1 ∑ n r ! n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯⋯ ( n − r + 2 ) ( n − r + 1 ) n r 1 } = n → ∞ lim { 0 ! 1 + r = 1 ∑ n r ! 1 ⋅ ( 1 − n 1 ) ( 1 − n 2 ) ⋯⋯ ( 1 − n r − 2 ) ( 1 − n r − 1 ) } = n → ∞ lim { 0 ! 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 ( 1 − n 1 ) + 3 ! 1 ( 1 − n 1 ) ( 1 − n 2 ) + ⋯⋯ + n ! 1 r = 1 ∏ n ( 1 − n r − 1 ) } = n = 0 ∑ ∞ n ! 1
6.2.2. 오일러의 공식 e i x = cos x + i sin x e^{ix}= \cos x + i \sin x e i x = cos x + i sin x
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상술한
e x e^x e x 에
x x x 대신
i x ix i x 를 대입해 보자.(
i = − 1 i = \sqrt{-1} i = − 1 )
e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ⋯ ⋯ + ( i x ) n n ! + ⋯ ⋯ \displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(ix\right)^n}{n!} = 1 + ix + \frac{\left(ix\right)^2}{2!} + \frac{\left(ix\right)^3}{3!} + \frac{\left(ix\right)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{\left(ix\right)^n}{n!} + \cdots\cdots e i x = n = 0 ∑ ∞ n ! ( i x ) n = 1 + i x + 2 ! ( i x ) 2 + 3 ! ( i x ) 3 + 4 ! ( i x ) 4 + ⋯⋯ + n ! ( i x ) n + ⋯⋯
i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 ,
i 3 = − i i^3 = -i i 3 = − i ,
i 4 = 1 i^4 = 1 i 4 = 1 이므로,
e i x = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! + ⋯ ⋯ = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ ⋯ ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ ⋯ ) \displaystyle \begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i \frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right) \end{aligned} e i x = 1 + i x − 2 ! x 2 − i 3 ! x 3 + 4 ! x 4 + i 5 ! x 5 + ⋯⋯ = ( 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n )! x 2 n + ⋯⋯ ) + i ( x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 + ⋯⋯ )
따라서 아래 식을 보일 수 있다.
e i x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = cos x + i sin x \displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x+ i\sin x e i x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n + i n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 = cos x + i sin x
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수(
e r f ( x ) \mathrm{erf} \left(x\right) erf ( x ) )가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t \displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt erf ( x ) = π 2 ∫ 0 x e − t 2 d t
피적분 함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
e − t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t 2 n n ! \displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n t^{2n}}{n!} e − t 2 = n = 0 ∑ ∞ n ! ( − 1 ) n t 2 n
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같이 나타난다.
e r f ( x ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) \displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)} erf ( x ) = π 2 n = 0 ∑ ∞ n ! ( 2 n + 1 ) ( − 1 ) n x 2 n + 1
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
1 2 π ∫ 0 x e − t 2 2 d t = 1 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) 2 n \displaystyle \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2} \, dt = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -1 \right)^n x^{2n+1}}{n! \left( 2n+1 \right) 2^n} 2 π 1 ∫ 0 x e 2 − t 2 d t = 2 π 1 n = 0 ∑ ∞ n ! ( 2 n + 1 ) 2 n ( − 1 ) n x 2 n + 1
7.1. sinh 함수, cosh 함수
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y = sinh x y=\sinh x y = sinh x ,
y = cosh x y=\cosh x y = cosh x 는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.
먼저 쌍곡사인 함수는
y = e x y=e^x y = e x 의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
sinh x = e x − e − x 2 = 1 2 { ( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ ⋯ ) − ( 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ ⋯ ) } = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ ⋯ ∴ sinh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)\right\} = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinh x = 2 e x − e − x = 2 1 { ( 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯⋯ ) − ( 1 − x + 2 ! x 2 − 3 ! x 3 + ⋯⋯ ) } = x + 3 ! x 3 + 5 ! x 5 + ⋯⋯ ∴ sinh x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1
cosh x = e x + e − x 2 = 1 2 { ( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ ⋯ ) + ( 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ ⋯ ) } = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ ⋯ ∴ cosh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! \displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)+\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)\right\} = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosh x = 2 e x + e − x = 2 1 { ( 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯⋯ ) + ( 1 − x + 2 ! x 2 − 3 ! x 3 + ⋯⋯ ) } = 1 + 2 ! x 2 + 4 ! x 4 + ⋯⋯ ∴ cosh x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n
삼각함수 항목에서 전술 한대로
tanh x \tanh x tanh x ,
c s c h x \mathrm{csch}\, x csch x ,
coth x \coth x coth x 는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에
tanh x \tanh x tanh x 에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실
coth x \coth x coth x 의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.
역시
s e c h x \mathrm{sech}\, x sech x 는
오일러 수열 (
E n E_n E n )을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은
베르누이 수열 ,
오일러 수열 문서 참조
tanh x = ∑ n = 1 ∞ ( 16 n − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 3 x 3 + 2 15 x 5 − 17 315 x 7 + ⋯ ⋯ c s c h x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x − 1 6 x + 7 360 x 3 − 31 15120 x 5 + ⋯ ⋯ coth x = ∑ n = 0 ∞ 4 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x + 1 3 x − 1 45 x 3 + 2 945 x 5 − ⋯ ⋯ s e c h x = ∑ n = 0 ∞ E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − 1 2 x 2 + 5 24 x 4 − 61 720 x 6 + ⋯ ⋯ \displaystyle \begin{aligned} \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left( 16^n - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x - \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \mathrm{csch}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( 2 - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 16x + \frac 7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 13x - \frac 1{45}x^3 + \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \mathrm{sech}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac 12x^2 + \frac 5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned} tanh x csch x coth x sech x = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 1 6 n − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 = x − 3 1 x 3 + 15 2 x 5 − 315 17 x 7 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 2 − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 = x 1 − 6 1 x + 360 7 x 3 − 15120 31 x 5 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! 4 n B 2 n x 2 n − 1 = x 1 + 3 1 x − 45 1 x 3 + 945 2 x 5 − ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! E 2 n x 2 n = 1 − 2 1 x 2 + 24 5 x 4 − 720 61 x 6 + ⋯⋯
8. 로그함수 ln ( 1 + x ) \ln\left(1+x\right) ln ( 1 + x )
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ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ ⋯ ( − 1 < x ≤ 1 ) \displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \ (-1<x \leq 1) ln ( 1 + x ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x n = x − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 + ⋯⋯ ( − 1 < x ≤ 1 )
그래프 보기 위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수도 있다.
ln x − ln ( x − 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n ( x > 1 ) \displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \ (x >1) ln x − ln ( x − 1 ) = n = 1 ∑ ∞ n x n 1 ( x > 1 )
이것이다.
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
ln ( 1 + x ) = ∫ 0 x d t 1 + t \displaystyle \ln \left(1+x\right)=\int_0^x \frac {dt}{1+t} ln ( 1 + x ) = ∫ 0 x 1 + t d t
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
( 1 + t ) − 1 = 1 − t + t 2 − t 3 + ⋯ ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − t ) n \displaystyle \left(1+t\right)^{-1} = 1-t+t^2-t^3+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(-t\right)^n ( 1 + t ) − 1 = 1 − t + t 2 − t 3 + ⋯⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( − t ) n
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 \displaystyle \ln \left(1+x\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{n+1}}{n+1} ln ( 1 + x ) = n = 0 ∑ ∞ n + 1 ( − 1 ) n x n + 1
W ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 8 3 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ \begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned} W ( x ) = n = 1 ∑ ∞ n ! ( − n ) n − 1 x n = x − x 2 + 2 3 x 3 − 3 8 x 4 + 24 125 x 5 − ⋯ S ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n π 2 n + 1 x 4 n + 3 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ⋅ ( 4 n + 3 ) C ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n π 2 n x 4 n + 1 2 2 n ( 2 n ) ! ⋅ ( 4 n + 1 ) \displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} S ( x ) C ( x ) = n = 0 ∑ ∞ 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 )! ⋅ ( 4 n + 3 ) ( − 1 ) n π 2 n + 1 x 4 n + 3 = n = 0 ∑ ∞ 2 2 n ( 2 n )! ⋅ ( 4 n + 1 ) ( − 1 ) n π 2 n x 4 n + 1 11. 브링 근호 B R ( − x ) \mathrm{BR}(-x) BR ( − x )
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B R ( − x ) = ∑ k = 0 ∞ ( 5 k k ) ( − 1 ) k x 4 k + 1 4 x + 1 \displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1} BR ( − x ) = k = 0 ∑ ∞ ( k 5 k ) 4 x + 1 ( − 1 ) k x 4 k + 1
K ( k ) = π 2 [ 1 + ∑ n = 1 ∞ [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 k 2 n ] = π 2 ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ] 2 k 2 n \displaystyle K(k) =\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\ =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n} K ( k ) = 2 π [ 1 + n = 1 ∑ ∞ [ ( 2 n )!! ( 2 n − 1 )!! ] 2 k 2 n ] = 2 π n = 0 ∑ ∞ [ 2 2 n ( n ! ) 2 ( 2 n )! ] 2 k 2 n E ( k ) = π 2 [ 1 − ∑ n = 1 ∞ [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 k 2 n 2 n − 1 ] \displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] E ( k ) = 2 π [ 1 − n = 1 ∑ ∞ [ ( 2 n )!! ( 2 n − 1 )!! ] 2 2 n − 1 k 2 n ]
