타우(수학)

그리스 문자 τ(타우)로 나타내는 새로운 원주율이다.

호도법 문서에도 서술되어있듯이 부채꼴에서 호의 길이를 $l$, 반지름의 길이를 $r$이라고 할 때 호도법을 이용한 중심각 $\theta$의 크기는 다음과 같이 반지름에 대한 호의 비로 정의된다.

다만 현재 쓰고 있는 원주율 $\pi$는 지름($d=2r$)에 대한 원주($l=2\pi r$)의 비로 정의되어있어 라디안의 정의와 정확히 $\dfrac12$배 차이가 난다. 이것이 부자연스럽기 때문에 $\tau=2\pi=6.283185\cdots\cdots$를 사용해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다.[1] 실제로 원은 반지름으로 정의되기 때문에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 물리학에서도 $\pi$보다 $2\pi$가 자주 등장하는데, 등속 원운동에서 각속도 $\omega$로 $1$회전하는 데에 걸리는 시간(주기 $T$)은 $T = \dfrac{\color{red}2\pi}\omega$라든지, 진동수 $f$와 각진동수 $\omega$ 사이에 $\omega = {\color{red}2\pi}f$가 성립한다든지, 플랑크 상수를 $2\pi$로 나눈 디랙 상수 $\hbar = \dfrac h{\color{red}2\pi}$ 등이 대표적인 예이다. 위의 예시를 $\tau$로 나타내면 $T=\dfrac\tau\omega$, $\omega=\tau f$, $\hbar=\dfrac h\tau$가 되어 깔끔한 식이 된다.

$\tau$는 turn의 머리글자 t에 대응되는 그리스 문자 τ에서 유래했다.[2]

물론 아직 공식화 된 것은 아니기 때문에 다르게 쓰는 예도 있다. 2001년에 최초로 이를 주장한 로버트 팔레이(Robert Palais)는 다리가 3개인 듯한 기괴한 $\pi$ 기호를 썼었다. 정황상 1958년에 알버트 이글(Albert Eagle)이 수식의 간편화를 위해 이미 $\tau=\dfrac\pi2$를 주장했었던 터라 새로 기호를 만들어냈던 것으로 보이는데 다행히도 알버트의 제안은 소리없이 묻혔다. $\tau = 2\pi$가 제안된 건 꽤 최근으로 2010년에 마이틀 하틀(Michael Hartl)[3]이 주장했다. 아직 최근이라 논문 등에서 언급되지는 않고 있는데 상술한 라디안의 정의와 일맥상통한다는 점으로 보아 시간이 지나면 공식화 될 가능성이 높다.

이 상수를 이용하면 원주의 길이는 $\tau r$, 원의 넓이는 $\dfrac12 \tau r^2$이 된다. 이 두 식은 파이를 사용한 식보다 훨씬 근본적인 식이다.

그리고 라디안 단위를 쓸 때도 한 바퀴가 $\tau\,\mathrm{rad}$이라서 편하다. 예를 들면 한 바퀴의 $\dfrac12$은 $\dfrac12\tau\,\mathrm{rad}$이 된다. 그래서 삼각함수에서 $\sin$, $\cos$ 함수의 한 주기가 $\tau$가 된다.

다만 기계공학 쪽에서는 타우라는 문자를 적용하는 데 다소 애로사항이 있는데, 전단응력으로 이미 타우를 사용중이기 때문이다. 가장 간단한 해결 방법으로는 전단응력이 벡터량이므로 전단응력을 볼드체로 표기하는 것이다. 예를 들어 최대전단응력 $\boldsymbol{\tau_{\bf max}}$에 의한 축의 지름을 나타내는 식은
$d=\sqrt[3]{\dfrac{16T}{\pi\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}=\sqrt[3]{\dfrac{32T}{\tau\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}$
로 나타낼 수 있다.


파일:radians.png

이들은 기념일도 3월 14일 대신 6월 28일에 원주율을 기념한다. MIT에서는 새 원주율을 기념해서 합격자 발표를 6시 28분에 한다고 한다.

이 상수는 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.