부채꼴

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목차
1. 국어사전에서의 정의2. 기하학에서의 정의
2.1. 둘레2.2. 넓이

1. 국어사전에서의 정의 [편집]

국어대사전에서는 부채꼴(Fan Shape)을
쥘부채를 폈을 때 처럼 생긴 모양
으로 정의하고 있다.#

2. 기하학에서의 정의 [편집]


파일:나무_부채꼴_정의.png

위 그림과 같이 반지름의 길이가 rr이고, 중심이 O\mathrm{O}인 원을 고려했을 때, 두 반지름과 한 호를 둘러싸는 도형을 부채꼴(Circular sector)이라 한다. 위 그림에서 회색 영역에 해당하는 도형이다.

이때, 두 반지름 사이의 각을 θ\theta라 할 때, 그 각을 부채꼴의 중심각이라 하며, 일반적으로 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi를 가진다. 특별히 θ=π\theta=\pi일 때의 도형을 반원, θ=2π\theta=2\pi일때의 도형을 원이라 한다.

2.1. 둘레 [편집]

라디안의 정의로 인해 중심각이 θ\theta이고, 반지름의 길이가 rr인 부채꼴의 호의 길이 ll는

l=rθ\displaystyle l=r \theta

이다. θ\theta는 호도법으로 정의된 각이므로 이것을 육십분법으로 고쳐 θ\theta와 x∘x^{\circ}가 같은 각일 때

πr×x180\displaystyle \pi r \times \frac{x}{180}

으로 쓸 수 있다.

둘레 LL는 호의 길이에 반지름을 두 번 더하면 되므로

L=r(θ+2)=r(πx180+2)\displaystyle \begin{aligned} L&=r( \theta+2) \\&= r \left( \frac{\pi x}{180}+2 \right) \end{aligned}

임을 알 수 있다.

2.2. 넓이 [편집]

이는 중심각이 θ=2π\theta=2\pi일 때, 즉, 원의 넓이가 πr2\pi r^{2}임을 이용하면 된다. 중심각이 θ\theta이고, 반지름의 길이가 rr인 부채꼴의 넓이를 SS라 놓으면, 다음이 성립한다.

2π : πr2=θ : S\displaystyle 2\pi\,:\, \pi r^{2}=\theta \,:\,S

이를 정리하면,

S=12r2θ\displaystyle S=\frac{1}{2}r^{2} \theta

θ\theta는 호도법으로 정의된 각이므로 이것을 육십분법으로 고쳐 θ\theta와 x∘x^{\circ}가 같은 각일 때

S=πr2×x360\displaystyle S=\pi r^{2} \times \frac{x}{360}

으로 쓸 수 있다.

위 문단에서 호의 길이와 연관해서 다음을 얻을 수 있다.

S=12rl\displaystyle S=\frac{1}{2}rl


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