기약분수

1. 개요2. 특징

2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈2.3. 기약분수의 제곱

3. 기약분수를 만드는 방법4. 유리식

1. 개요 [편집]

旣約分數 / Irreducible fraction

분자와 분모가 서로소(둘의 공약수가

1

밖에 없는) 상태여서 (다시 말해 이미(旣) 약분(約分)이 다 끝나) 더 이상 약분을 할 수 없는 분수(分數)를 말한다. 예를 들어

\dfrac5{35}

을 약분한다 하면

\dfrac17

이 된다. 약분이 여러 단계인 경우 일부 단계만 끝난 분수는 기약분수가 아니기 때문에 약분된 분수가 모두 기약분수인 것은 아니다.

분수가 약분을 할 수 있는 상황이라면 최대한 약분해서 결과치를 기약분수로 만들어 깔끔하게 처리해야 한다. 수학 시험에서 기약분수로 바꾸지 않으면 가차없이 감점시키는 경우가 많다.

기약분수 중 분모가 분자보다 크면 진분수(眞分數), 분자가 분모보다 크면 가분수(假分數)라고 일컫는다.

2. 특징 [편집]

서로 같은 값을 갖는 여러 분수들과 같은 값을 갖는 기약분수는 오직 하나 뿐이다. 예를 들어 $0.6$ 의 값을 갖는 분수는 $\dfrac{60}{100}$ , $\dfrac6{10}$ , $\dfrac35$ 등으로 무수히 많지만 이들 중 기약분수는 $\dfrac35$ 뿐이다.
분자가 $1$ 인 분수는 모두 기약분수다. 모든 자연수가 $1$ 과 서로소이기 때문. 분모가 $1$ 인 경우는 분수로서 유의미한 의미를 지니지 않기 때문에 고려하지 않는다.

2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈 [편집]

분모의 곱을 공통분모로 해서 통분할 때[1], (기약분수) $+$ (기약분수) 는 더하는 두 분수의 분모가 서로소이면 기약분수다. $a\perp b$ , $c\perp d$ , $b\perp d$ ( $\perp$ 는 서로소 기호)인 자연수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 에 대해, $\dfrac ab + \dfrac cd = \dfrac{ad+bc}{bd}$ 인데, $a\not\perp b$ 또는 $c\not\perp d$ 일 때만 각각 $b$ , $d$ 또는 그 인수가 분자, 분모의 공통인수이므로 $(ad+bc)\not\perp bd$ 가 되어 기약분수가 아니게 된다. 그러나 이것은 $a\perp b$ , $c\perp d$ 라는 전제에 모순이다. 따라서 분모가 서로소인 두 기약분수의 덧셈 결과는 기약분수이다.
- 분모가 서로 같은 (기약분수) $+$ (기약분수)는 분모가 소수일 때, 합성수일 때 모두 반드시 기약분수인 것은 아니다. 예를 들어 $\dfrac25$ 와 $\dfrac35$ 은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $\dfrac55 = 1$ 이므로 기약분수가 아니며, $\dfrac2{15}$ 와 $\dfrac4{15}$ 는 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $\dfrac6{15} = \dfrac25$ 이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 서로 다른 경우라도 이들이 서로소가 아닌 경우, 반드시 기약분수인 건 아니다. 예를 들어 $\dfrac1{12}$ 과 $\dfrac1{20}$ 은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $\dfrac8{60} = \dfrac2{15}$ 이므로 기약분수가 아니다. 한쪽만 소수인 경우도 그 예가 될 수 있는데, 예를 들어 $\dfrac1{5} + \dfrac1{20} = \dfrac5{20} = \dfrac14$ 이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 서로소인 세 개 이상의 기약분수의 덧셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수) $+$ (기약분수) $=$ (기약분수) 이므로 결국 기약분수가 된다.
(기약분수) $-$ (기약분수)는 (기약분수) $+$ (기약분수)에서 뒤쪽 기약분수에 $-1$ 을 곱한 경우로 볼 수 있다. 따라서 분모의 곱을 공통분모로 하여 통분할 때 덧셈과 마찬가지의 성질을 갖는다.

2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈 [편집]

곱해져서 얻어지는 분수의 분모를 각각의 분모의 곱으로 할 때, (기약분수) $\times$ (기약분수) 는 곱하는 두 분수의 분모가 서로 같은 경우 기약분수이다. 두 분수를 각각 $\dfrac ab$ , $\dfrac cb$ 라 하면 두 분수를 곱한 결과는 $\dfrac{ac}{b^2}$ 이고 $b\perp a$ , $b\perp c$ 이므로 $b^2\perp a$ , $b^2\perp c$ 이다. 따라서 $b^2\perp ac$ 이므로 기약분수이다. 예를 들어 $\dfrac34$ 과 $\dfrac14$ 은 모두 기약분수이고 곱하면 $\dfrac3{16}$ 인데, 이것도 기약분수이다.
- 단, 분모가 서로 다른 경우 기약분수임을 보장할 수 없다. 예를 들어 $\dfrac23$ , $\dfrac35$ 은 모두 기약분수이지만 $\dfrac{2{\cdot}3}{3{\cdot}5} = \dfrac6{15} = \dfrac25$ 이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 모두 서로 같은 세 개 이상의 기약분수의 곱셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수) $\times$ (기약분수) $=$ (기약분수)이므로 결국 기약분수가 된다.
(기약분수) $\div$ (기약분수)는 나누는 기약분수에 역수를 취해서 (기약분수) $\times$ (기약분수)꼴로 만들어줄 수 있다. 따라서 나누어지는 분수의 분모와 나누는 분수의 분자가 서로 같으면 기약분수이다. 예를 들어 $\dfrac14$ 을 $\dfrac43$ 로 나누면 $\dfrac14\div\dfrac43 = \dfrac14\times\dfrac34 = \dfrac3{16}$ 으로 기약분수다.

2.3. 기약분수의 제곱 [편집]

자연수 $n$ 에 대해, 기약분수의 $n$ 제곱, 즉 분자와 분모를 각각 $n$ 제곱한 분수는 모두 기약분수이다. 기약분수 $\dfrac ab$ 를 제곱하면 $\dfrac{a^n}{b^n}$ 이 되고, $a\perp b$ 이므로 $a^n\perp b^n$ 이다. 예를 들어 $\dfrac35$ 는 기약분수이고, $\left(\dfrac35\right)^3 = \dfrac{27}{125}$ 역시 기약분수다.

3. 기약분수를 만드는 방법 [편집]

분자와 분모의 최대공약수로 약분하면 쉽게 기약분수로 만들 수 있다. 분자와 분모가 둘 다 아주 작은 수이면 초등교과에서 했던 것처럼 소인수분해해도 되지만, 보통 유클리드 호제법이 훨씬 효율적이다.

4. 유리식 [편집]

두 다항식을 분자와 분모로 해 분수 모양으로 나타낸 걸 유리식이라고 하는데, 여기서 두 다항식이 서로소인 경우에도 기약분수라고 한다. 예를 들어

\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}

는 두 다항식

xy

,

(x+1)(y+1)

이 서로소이므로 기약분수이다.

상술한 성질들은 정수 대신 다항식을 대입하여 증명하면 되므로 성립한다. 소수의 경우는 약분할 수 없는 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 대신하면 된다.

[1] 당연하겠지만

\dfrac1a + \dfrac1b = \dfrac1{a+b}

처럼 계산하면 틀린다.