수반 연산자

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목차
1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)
5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)5.2. 정규 연산자(normal operator)5.3. 따름 정리들

역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.

1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의 [편집]

체 FF 위의 벡터 공간 VV와 그 위의 내적 (⋅∣⋅)\left(\cdot\mid\cdot\right) , 선형 연산자 TT를 생각하자. VV 위의 선형 연산자 UU가 TT의 수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
  • (u∣Tv)=(Uu∣v)\left(u\mid Tv\right)=\left(Uu\mid v\right)

이 때 U=T∗U=T^{*}로 표기한다.[1]
  • 자명하게, TT가 수반 연산자를 가지면, T∗T^{*} 역시 그러하며 T=T∗∗T=T^{**}이다.
  • TT, UU가 수반 연산자를 가지면, TUTU 역시 그러하며 (TU)∗=U∗T∗\left(TU\right)^{*}=U^{*}T^{*}이다.

유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. TT가 수반 연산자를 갖는 경우, T∗T^{*}라 표현한다.
내적을 보통, F=R,CF=\mathbb{R},\mathbb{C}에서 다루므로, 수반 연산자도 F=R,CF=\mathbb{R},\mathbb{C}에서 다루는 것이 일반적이다.

2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성 [편집]

그람-슈미트 과정에 의하면, VV의 기저 B={ϵi:1≤i≤n}\mathcal{B}=\left\{ \epsilon_{i}:1\leq i\leq n\right\} 가 존재하여, 임의의 u,v∈Vu,v\in V에 대해, (u∣v)=[u]B∗[v]B\left(u\mid v\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. (u∣Tv)=[u]B∗[Tv]B=[u]B∗([T]B[v]B)=([u]B∗[T]B)[v]B=([T]B∗[u]B)∗[v]B\left(u\mid Tv\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[Tv\right]_{\mathcal{B}}=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}}\right)=\left(\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[T\right]_{\mathcal{B}}\right)\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}이다. [T]B∗\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}에 해당하는 선형 변환을 UU라 하면,
([T]B∗[u]B)∗[v]B=[Uu]B∗[v]B=(Uu∣v)\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left[Uu\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(Uu\mid v\right)이다. 따라서, T∗T^{*}는 T∗=UT^{*}=U로 존재한다.

이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.

다음을 쉽게 보일 수 있다.
TT를 임의의 선형 연산자라 하자. WW가 TT의 불변부분공간이면, W⊥W^{\perp}는 T∗T^{*}의 불변부분공간이다.

3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자 [편집]

TT의 수반 연산자가 T∗=TT^{*}=T이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다.

4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들 [편집]

군(대수학) 문서 참조. GLn\text{GL}_{n}는 n×n 가역행렬을 모은 일반선형군(General Linear Group)이며, SLn\text{SL}_{n}는 그 중 행렬식이 1인 행렬을 모은 특수선형군(Special Linear Group)이다.
  • F=RF=\mathbb{R}
    F=RF=\mathbb{R}일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, ∗^{*}대신 전치인 t^{t}를 쓴다.[2]
    • 직교군(orthogonal group) O(n):={A∈GLn(R):AtA=I}\text{O}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}
      직교군에 속하는 행렬들을 직교행렬(orthogonal matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 내적을 보존해준다.
    • 특수 직교군(special orthogonal group) SO(n):={A∈SLn(R):AtA=I}\text{SO}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}
    • 자기 수반 행렬 {A∈GLn(R):At=A}\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}=A\right\}
      대칭행렬(symmetric matrix)이라고도 부른다.
  • F=CF=\mathbb{C}
    • 유니타리군(unitary group) U(n):={A∈GLn(C):A∗A=I}\text{U}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}
      유니타리군에 속하는 행렬들을 유니타리 행렬(unitary matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 보존해준다.
    • 특수 유니타리군(special unitary group) SU(n):={A∈SLn(C):A∗A=I}\text{SU}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}[3]
    • 에르미트 행렬(Hermitian matrix) {A∈GLn(C):A∗=A}\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}=A\right\}

5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator) [편집]

5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[4] [편집]

유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 A∈Mn(F)A\in M_{n}\left(F\right)를, 적절한 U∈UnU\in\text{U}_{n}와 대각행렬[5] D∈Mn(C)D\in M_{n}\left(\mathbb{C}\right)를 찾아, A=UDU∗A=UDU^{*}로 표현하는 일이다. U∗=U−1U^{*}=U^{-1}이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.

질문은 이것이다. 어떤 행렬이 유니타리 대각화 가능할 필요충분조건은 무엇인가? 자명하게, AA유니타리 대각화 가능이면, A∗A=AA∗A^{*}A=AA^{*}이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.

5.2. 정규 연산자(normal operator) [편집]

유한 차원 벡터 공간VV 상의 선형 변환 TT가 정규 연산자(normal operator)라 함은, T∗T=TT∗T^{*}T=TT^{*}가 성립하는 것이다.

다음이 성립한다.
TT를 정규 연산자라 하자. 임의의 c∈Cc\in \mathbb{C}, v∈Vv\in V에 대해, Tv=cvTv=cv이면, T∗v=c‾vT^{*}v=\overline{c}v이다.

이것에서 다음을 얻는다.
TT를 정규 연산자, μ\mu, λ\lambda를 TT의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, Wλ⊥WμW_{\lambda}\perp W_{\mu}이다.[6]

여기서, 직교 분해 ⨁λ:char. val.Wλ<V{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}<V를 얻는다.W:=⨁λ:char. val.WλW:={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}에 대해, WW가 TT의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, W⊥W^{\perp}가 T∗T^{*}의 불변부분공간이다. T∗∣W⊥:W⊥→W⊥\left.T^{*}\right|_{W^{\perp}}:W^{\perp}\rightarrow W^{\perp}이다. W⊥≠⟨∅⟩W^{\perp}\neq\left\langle \emptyset\right\rangle 을 가정하면, c∈Cc\in \mathbb{C}, 0≠v∈W⊥0\neq v\in W^{\perp}가 존재하여, T∗v=cvT^{*}v=cv이다. 따라서, Tv=c‾vTv=\overline{c}v이다. 따라서, v∈Wv\in W인데 이는 모순이다. 따라서, W⊥=0W^{\perp}=0이다. 고로, V=W⨁W⊥=⨁λ:char. val.WλV=W\bigoplus W^{\perp}={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}이다.

이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. A=UDU∗A=UDU^{*}인 U∈U(n)U\in\text{U}\left(n\right)는 WλW_{\lambda}의 직교 기저들로 구성해주면 된다. 보통 이를 정규연산자의 스펙트럼 정리(spectral theorem)라 부른다.

5.3. 따름 정리들 [편집]

  • 대칭행렬(혹은 자기수반 행렬)은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다. 대칭행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 대칭행렬은 정규 연산자이다.
  • 유니타리 행렬도 정규 연산자이므로 유니타리 대각화를 할 수 있고, 고유치는 절댓값 1의 복소수가 된다.


[1] 보통은 칼표를 쓴 U=T†U=T^{\dag}를 자주 쓴다.[2] 뭘 사용해도 상관은 없다. [3] 리 대수(Lie algebra)에서는 블랙 레터를 쓴 su(n)\mathfrak{su} \left(n\right)로 표현하기도 한다.[4] 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다.[5] 대각선 외의 성분이 모두 00인 행렬, 대각선의 성분은 00이어도 좋다. [6] WμW_{\mu}, WλW_{\lambda}는, μ\mu, λ\lambda에 해당하는 고유 공간이다.

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