에르미트 행렬

1. 개요2. 기타

1. 개요 [편집]

A

에 대해

A

의 각 원소에 켤레를 취한 행렬을 '

A

의 켤레 행렬(conjugate of

A

)'이라 하고

\bar{A}

로 표기한다. 또

A

A^{T}

로 표기한다. 이 때

\overline{A^{T}}

=

\bar{A}^{T}

[1]를

A^{\dagger}

[2]라 표기하고 '

A

의 켤레 전치 행렬(conjugate transpose of

A

)' 혹은 에르미트 전치 행렬(Hermitian transpose)이라고 한다.

이제 복소수체 위의 행렬

H

가

H=H^{\dagger}

을 만족할 때

H

를 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이라고 부른다.

에르미트 행렬은 다음 두 가지 성질을 만족하는데, 스펙트럼 정리의 일부분이다.

1. 고윳값들은 항상 실수이다.
2. 고유벡터들은 항상 직교한다.

수반 연산자 문서에서 Hermitian에 대한 전반적인 성질과 재해석을 다룬다.
철자가 비슷한 Hamiltonian( $\mathcal{H}$ )과 헷갈리기 쉽다. 게다가 에르미트 행렬은 해밀토니안과 상당히 가까운 관계이기까지 하다.[3]

[1] 물론 항상 성립한다.[2] 분야에 따라 표기가 다른데 순수수학에서는 별표(

\ast

)를 쓰고, 물리학에서는 칼표(

\dag

)를 쓴다.[3] 물론 수학적으로는 전혀 비슷하진 않다. 에르미트 행렬은 따지고 보면 그냥 선형사상에 불과하지만 해밀토니안은 범함수이기 때문이다.