평면

(Euclidean) Plane · 平面

3차원 상의 곡면 중 평평한 면을 평면이라 한다. 주의해야 할 것은 일상 생활의 개념과 달리 수학적인 평면은 무한한 면을 다룬다는 것이다. 즉, 직육면체의 윗면 같은 것은 평면의 일부를 도려낸 것이다.

아래의 4가지 조건에 의해 평면은 유일하게 결정된다.

공간 상에 있는 한 평면 $\pi$와 한 직선 $l$은 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

파일:namu_평면직선 위치관계.png

위에서 (a), (b)는 평면과 직선이 직접적으로 만나지만, (c)는 만나지 않는다는 것에 유의하라.

공간 상 한 평면 $\pi$와 해당 평면에 대해 한 점에서 만나는 직선 $l$을 고려하자. 이때, 다음을 만족하면 평면 $\pi$과 직선 $l$은 직교한다고 하고, 기호로 $l \perp \pi$로 나타낸다.

다음 그림을 참조하라:

파일:namu_평면직선직교.png

이때, 한 직선과 한 평면이 직교하는 것은 해당 직선과 그 평면 위의 평행하지 않은 두 직선이 직교한다는 것을 보이면 된다. 이것의 증명은 아래와 같다.

파일:namu_평면직선직교증명_new.png

평면 $\pi$와 해당 평면에 한 점에서 만나는 직선 $l$을 고려하고, 직선 $l$과 직교하는 두 직선 $m$, $n$을 고려해보도록 하자. 이때, 두 직선은 평행이동을 통해여 직선 $l$과의 교점 $\mathrm{O}$에서 만나게 할 수 있다. 그러한 직선을 $m'$, $n'$이라 놓고, 직선 $l$에 $\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}}$를 만족하게 하는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{P'}$를 잡자. 또, 두 직선 $m$, $n$이 아닌 평면 $\pi$ 위의 임의의 직선 $L$을 생각하고, 이 직선 또한 $\mathrm{O}$를 지나도록 평행이동한 직선을 $L'$이라 하자. 위 그림과 같이 $m'$, $L'$, $n'$을 통과하는 직선을 놓고, 해당 직선과 세 직선과의 교점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{B}$라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

이에 따라 삼각형 $\mathrm{APB}$, $\mathrm{AP'B}$에서 $\overline{\mathrm{AB}}$는 공통임에 따라

이 성립한다. 이로부터 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QP'}}$이 성립하므로 삼각형 $\mathrm{PQP'}$는 이등변삼각형이 되고, $\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}}$임을 고려하면,

을 얻는다. 이에 따라 평면 $\pi$ 위의 임의의 직선 $l$이 수직하므로

임을 얻을 수 있다.

공간 상에 있는 두 평면 $\pi$, $\rho$는 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

파일:namu_평면평면 위치관계.png

평면 $\pi$ 위에 있지 않은 한 점 $\mathrm{P}$와 평면 $\pi$ 위의 직선 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{H}$, 직선 $l$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{O}$에 대하여 다음이 성립하는데, 이를 삼수선의 정리(Theorem of three perpendiculars)라 한다.

이를 그림으로 나타내면, 아래와 같다.

파일:namu_삼수선의정리_수정.png

여담으로, 평면 기하학에 피타고라스 정리가 있다면, 공간 기하학에는 삼수선의 정리가 있다는 말이 있을 정도로 공간 기하학에서 자주 써먹는 정리이다. 즉, 공간 기하학을 학습하면서 이 부분을 제대로 학습하지 않고, 넘어가봤자 연습문제의 난도가 조금만 어려워져도 손도 못대는 자신을 발견할 수 있다는 뜻이다.

(a)
위에서

또한, $\overline{\mathrm{OH}} \perp l$이므로 평면 $\mathrm{PHO}$는 $l$과 직교함을 알 수 있다. 이에 $\mathrm{PHO}$ 위의 모든 직선은 $l$과 직교하므로


(b)
위에서

또한, $\overline{\mathrm{PH}} \perp l$이므로 평면 $\mathrm{PHO}$는 $l$과 직교함을 알 수 있다. 이에 $\mathrm{PHO}$ 위의 모든 직선은 $l$과 직교하므로


(c)
위에서

이에 따라 $\overline{\mathrm{PO}} \perp l$, $\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}$가 성립하므로 $\overline{\mathrm{PO}}$는 평면 $\pi$위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라

파일:namu_이면각.png

이제부터는 두 평면이 이루는 각에 대해 알아볼 것이다. 위 그림과 같이 한 교선을 가지는 반평면 $\pi$, $\rho$를 고려하자. 이때, 각각의 평면 위에 있는 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$로 부터 내린 교선 위의 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 이때, 두 평면이 이루는 각은 해당 수선이 이루는 각 중 작은 각 $\angle \mathrm{PHQ} = \theta$로 정의한다.

또한, 두 평면이 이루는 각을 이면각(Dihedral angle)이라 한다.

이제부터 공간좌표 상 평면을 기술하는 방정식을 찾기 위하여 우리는 어떤 평면에 수직한 벡터 $\mathbf{n}$을 고려해보도록 한다. 이것의 해당 평면의 법선 벡터(Normal vector)라 하는 것도 참고하자. 이때,

라 놓자. 여기서 $a \sim c$는 상수이다. 또한 평면이 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 $(x,\,y,\,z)$을 종점, $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$를 시점으로 하는 벡터

라 놓을 수 있다. 이때, $\mathbf{n}$이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라

즉, 법선 벡터가 $(a,\,b,\,c)$이고, 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$를 지나는 평면의 방정식은

이다. 일반적인 형태로는

의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $A \sim D$는 상수이다.

또한 양함수 형태로 쓰면,

꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $\alpha \sim \gamma$는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 $z$가 $x$, $y$에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.

여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 $\mathbf{n}_{1}$, $\mathbf{n}_{2}$이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

서로 다른 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$을 고려하자. 평면은 서로 다른 세 점이 주어지면 유일하게 결정되므로 이 세 점으로 평면의 방정식을 결정할 수 있다.

가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.

그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 $Ax+By+Cz+D=0$ 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다.

교선은 곧 두 평면 상에 동시에 놓인다. 따라서 해당 직선의 방향 벡터는 각각의 법선 벡터와 수직하다. 어떤 두 평면의 법선 벡터를 각각 $\mathbf{n}_{1}$, $\mathbf{n}_{2}$라 하자. 교선의 방향 벡터는 이들과 각각 수직해야 하므로 외적을 이용하여 교선의 방향 벡터를

로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[2] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.

좌표평면 위의 두 평면 $ax+by+cz+d=0$, $a'x+b'y+c'z+d'=0$를 고려하자. 이 두 평면이 일치하거나 평행하지 않은 이상, 두 평면은 교차하여 교선을 형성한다. 이 교선 위의 점을 $(\alpha, \, \beta, \, \gamma)$라 둔다면, 이 점에서

가 성립한다. 이때, 다음의 방정식

을 고려하자. 여기서 $k$는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,

이것은 $k$값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 $a'x+b'y+c'z+d'=0$가 제외되는 문제가 발생하기 때문에

의 형식으로 쓰기도 한다. $m$, $n$은 상수이다.

공간좌표 상 한 평면 $ax+by+cz+d=0$과 평면 외부의 점 $\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$을 고려하자. 또한 이 평면이 $\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$을 지난다고 생각해보자.

우선 주어진 평면의 법선 벡터는 $\mathbf{n}=(a,\,b,\,c)$가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 $\mathbf{p} \equiv \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

를 고려하자.

그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 $\mathbf{p}$의 법선 벡터 $\mathbf{n}$ 위로의 스칼라 사영[3]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 $s$라 놓으면,

의 결과를 얻는다.

파일:namu_평면직선각_벡터_New_수정.png

위 그림과 같이 한 평면 $\pi$와 이 평면에 한 점에서 만나는 직선 $l$을 고려해보자. 이 직선이 평면과 이루는 각을 $\theta$라 하자. 이때, $\theta$는 예각으로 잡는다. 그렇다면, 평면 $\pi$의 법선 벡터 $\mathbf{n}$와 직선 $l$의 방향 벡터 $\mathbf{u}$가 이루는 각은 두 종류[4] 가 가능하다: $\pi/2-\theta$, $\pi/2+\theta$ 이때,

이므로 다음을 얻는다.

파일:namu_이면각_벡터.png

위 그림과 같이 두 평면 $\pi$, $\rho$를 고려하자. 이때, 위 그림과 같이 교선에 내린 수선이 이루는 각을 $\theta$라 하자. 이때, 이 각은 곧 두 법선 벡터가 이루는 각의 크기와 같으므로 두 평면의 이면각을 $\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} \leq \pi/2)$라 하면,

임을 알 수 있다.

다음과 같은 삼원연립일차방정식을 생각해보자.

우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 $x \sim z$를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.

더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 직선 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.

접평면이란, 3차원 이상의 도형에 접하는 평면이다. 즉, 2차원에서는 곡선에 접하는 직선 즉, 접선의 개념을 다뤘듯, 비슷하게 접하는 평면을 구하는 것이 이 문단의 목표인 것이다.

델(연산자) 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 $f(x,\,y,\,z)=k$에 대하여 $\boldsymbol{\nabla}f$임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$의 표면에 수직한 벡터는

가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.


이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2$의 한 점 $(\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3})$의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로 우리는

로 택하자. 이때,

을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 $(\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3})$를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은

으로 구할 수 있다.