벡터(유클리드 기하학)

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분류
Euclidean vector

목차
1. 개요2. 뜻
2.1. 그림으로 나타내기
3. 성질과 연산
3.1. 같은 벡터3.2. 벡터의 합3.3. 내적3.4. 외적3.5. 반사3.6. 변위3.7. 미분 연산3.8. 적분 연산
4. 유사벡터(Pseudovector)

1. 개요 [편집]

이 문서는 물리학의 역학이나 고등학교 수학에서 다루는 기하학적인 벡터를 다룬다.[1] 이 문서의 벡터는 선형대수학에서 다루는 벡터 공간의 원소인 벡터의 일종이라고 볼 수 있다. 편의상, 이 문서에서 다루는 벡터와 구별하기 위해 선형대수학에서 다루는 벡터를 '선형대수학 벡터', 함수인 벡터는 '함수 벡터'라고 하겠다.

표제어에 유클리드 기하학이 붙어 있는 이유는 비유클리드 기하학에서는 이 문서의 내용이 성립되지 않을 수 있기 때문이다.[2]

2. 뜻 [편집]

크기와 방향을 함께 가지는 양(Quantity which has both magnitude and direction)을[3] 벡터라고 한다. 크기와 방향을 함께 가지는 물리량은 벡터량이라고 부른다.

2.1. 그림으로 나타내기 [편집]

선분 AB를 크기로 하고, 점 A에서 시작해 점 B에서 끝나는 벡터를 기호로 AB→\overrightarrow {\mathrm {AB}}와 같이 나타낸다. 이때 AB→\overrightarrow {\mathrm {AB}}에서 점 A를 시점, 점 B를 종점이라고 한다. 또한 벡터 AB→\overrightarrow {\mathrm {AB}}의 크기는 ∣AB→∣|\overrightarrow {\mathrm {AB}}|[4]와 같이 나타낸다.

벡터를 간단하게 a⃗\vec a와 같이 나타낼 수도 있다.[5]

3. 성질과 연산 [편집]

3.1. 같은 벡터 [편집]

  • 크기와 방향이 같은 두 벡터 a⃗\vec a, b⃗\vec b에 대하여 a⃗=b⃗\vec a=\vec b
  • 크기가 같고 방향이 반대인 두 벡터 a⃗\vec a, b⃗\vec b에 대하여 a⃗=−b⃗\vec a=-\vec b

3.2. 벡터의 합 [편집]

  • 벡터 AC→\overrightarrow {\mathrm {AC}}를 벡터 AB→\overrightarrow {\mathrm {AB}}와 벡터 BC→\overrightarrow {\mathrm {BC}}의 합이라 하고, AB→+BC→=AC→\overrightarrow {\mathrm {AB}}+\overrightarrow {\mathrm {BC}}=\overrightarrow {\mathrm {AC}}와 같이 나타낸다.
  • 벡터의 합은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
    • a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec a+\vec b=\vec b+\vec a
    • (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)
  • a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)
  • AA→\overrightarrow {\mathrm {AA}}와 같이 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터라고 하며 0⃗\vec 0으로 나타낸다. 영벡터의 크기는 0이며 방향은 생각하지 않는다. 또한 영벡터는 벡터의 합의 항등원이다.

3.3. 내적 [편집]

유클리드 공간은 내적 공간의 일종이기 때문에 내적이 정의되며, 다음과 같이 구할 수 있다.[6][7]
  • a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
    θ\theta는 두 벡터의 사이각, a1,a2,a3,b1,b2,b3a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3는 a⃗\vec a와 b⃗\vec b의 성분들이다. 원칙대로라면 a⃗\vec a, b⃗\vec b중 하나의 성분들에 켤레가 취해져야 하나[8], 고전역학이나 고등학교 과정에서는 실벡터만 다루기 때문에 보통은 생략한다.[9]

3.4. 외적 [편집]

3차원 벡터[10]에 한하여, 두 벡터에 모두 수직인 벡터도 정의할 수 있는데 이를 외적이라고 하며, 다음과 같이 정의한다.[11][12]
  • a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θn^\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin\theta\hat{n}
    여기서 θ\theta는 두 벡터의 사이각, n^\hat{n}는 크기가 1인 단위벡터이며 방향은 오른손 손바닥을 펴고 엄지손가락을 제외한 나머지 손가락들이 향하는 방향을 a⃗\vec{a}와 일치시킨 후, b⃗\vec{b} 방향으로 감아쥐었을때 엄지손가락이 가리키는 방향이다. 따라서 a⃗\vec{a}와 b⃗\vec{b}에 동시에 수직이며 연산 순서가 바뀔경우 방향도 반대로 바뀐다.

3.5. 반사 [편집]

시작점을 원래 벡터의 끝점으로 옮긴 뒤 일부 성분의 부호를 바꾼 것이다.

3.6. 변위 [편집]

3.7. 미분 연산 [편집]

f⃗(t)=(fx(t),fy(t),fz(t))\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)) 일때  ddtf⃗(t)=(ddtfx(t),ddtfy(t),ddtfz(t))\displaystyle\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{f}(t)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_x(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_y(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_z(t) \right)라고 정의한다.
f(x,y,z)f(x,y,z)에 대한 미분에 관한 것은 델 참고

3.8. 적분 연산 [편집]

f⃗(t)=(fx(t),fy(t),fz(t))\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)) 일때
 ∫f⃗(t)dt=(∫fx(t)dt,∫fy(t)dt,∫fz(t)dt)\displaystyle\ \int \vec{f}(t)\mathrm{d}t = \left( \int f_x(t)\mathrm{d}t,\int f_y(t)\mathrm{d}t,\int f_z(t)\mathrm{d}t \right)
∫ab∇⃗f(x(t),y(t),z(t))dt=f(x,y,z)∣t=b−f(x,y,z)∣t=a\displaystyle \int_{a}^{b} \vec \nabla{f}(x(t),y(t),z(t))dt=f(x,y,z)|_{t=b} - f(x,y,z)|_{t=a}
이때 어떤 f⃗\vec{f}가 ∇F\nabla F의 형태로 표현될 필요충분조건은 ∇×f=curlf=0\nabla \times f=\mathrm{curl} f=0인 것이다.

4. 유사벡터(Pseudovector) [편집]

물리학에서[13] 반사할 때[14] 변위(displacement)와 다르게 계산되는 벡터를 뜻한다. 두 벡터의 가위곱(외적)은 항상 유사벡터가 나온다. 대표적인 예시로 돌림힘, 각속도, 각운동량, 자기장등이 있는 데 죄다 외적으로 구하는 물리량이란 걸 알 수 있다.
[1] 고로 우리나라에서 고등학교를 갓 졸업한 평범한 이과생이 벡터에 대해 듣는다면 십중팔구 이걸 떠올릴 것이다.[2] 비유클리드 기하학의 벡터는 따로 미분기하학이라는 학문에서 다룬다.[3] 단, 물리학에서는 반사시켰을 때 변위처럼 변해야 한다는 조건이 붙는다. 그렇지 않으면 유사벡터(Pseudovector)라고 부른다.[4] 노름을 써서 ∥AB→∥\|\overrightarrow{\text{AB}} \|로 쓰기도 한다.[5] 대조적으로, 선형대수학 벡터는 a\bold a와 같이 표기한다. 함수 벡터는 그냥 함수 이름을 쓴다.[6] 선형대수학 벡터의 내적은 행렬의 수반 연산자와 행렬식을 이용해서 <a, b>=det⁡a∗b\left<\bold{a} ,\, \bold{b} \right> = \det \bold{a}^{\ast} \bold{b}로 정의된다. 또한 단항 연산도 가능하다.[7] 함수 벡터의 내적은 두 함수의 켤레복소수 곱을 적분한 값으로 정의한다: <f, g>=∫[a, b]fg‾ dx\displaystyle \left< f ,\, g \right> = \int_{[a,\,b]} f\overline{g}\, {\rm d}x 선형대수학 벡터와 마찬가지로 단항 연산이 가능하다.[8] 정확하게는 반쌍형적 형식(sesquilinear form)[9] 단, 양자역학에서는 선형대수학 벡터, 함수 벡터를 사용하므로 내적 시 한쪽 벡터에 켤레를 취하는 것이 당연시된다. 표기 역시 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 대신 <a∣b>\left< a | b \right>를 쓰는 등 차이가 있다.[10] 사실 3차원뿐만 아니라 7차원도 외적을 정의할 수 있다.[11] 선형대수학 벡터의 외적은 단위벡터와 행렬식을 이용해서 a×b=det⁡[x^y^z^a1a2a3b1b2b3]\bold{a} \times \bold{b}= \det \begin{bmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}로 정의된다.[12] 함수 벡터는 일반적으로는 외적이 정의되지 않는다.[13] 다시 말해 수학에서는 그냥 벡터랑 차이가 없다.[14] 일반적으론 improper rotation인데 어차피 반사와 회전의 결합이다.

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