원주각

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목차
1. 개요2. 원주각의 성질
2.1. 성질 12.2. 성질 22.3. 기타 성질
3. 응용
3.1. 원에 내접하는 사각형3.2. 네 점이 한 원 위에 있을 조건3.3. 접선과 현이 이루는 각3.4. 방멱 정리 (원과 비례)
4. 기타5. 관련 문서

1. 개요 [편집]

inscribed angle · 圓周角

파일:나무_원주각_개요.png

그림과 같이 AB⌢\stackrel\frown{\mathrm{AB}}에 대해 ∠α\angle \alpha를 AB⌢\stackrel\frown{\mathrm{AB}}에 대한 원주각이라 하며, 이때, ∠β\angle \beta를 AB⌢\stackrel\frown{\mathrm{AB}}에 대한 중심각이라 한다.

뒤에서 증명하겠지만, 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.

∠α=∠β2\displaystyle \angle \alpha = \frac{\angle \beta}{2}


참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 180∘/π 180^{\circ}/\pi 을 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 ∼\sim을 썼다.

2. 원주각의 성질 [편집]

2.1. 성질 1 [편집]

원주각은 호가 같다면, 점 P\mathrm{P}에 관계 없이 일정하다. 즉,

파일:나무_원주각_1.png

위 그림에서

α1=α2=α3\displaystyle \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}

이다.

이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.

[1] 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때

파일:원주각 증명_1.png

호 AB\mathrm{AB}에 대한 원주각 ∠APB\angle \mathrm{APB}를 고려하고, 보조선으로 지름 PQ‾\overline{\mathrm{PQ}}를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 OP‾=OA‾=OB‾\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}가 성립하므로 삼각형 PAO\mathrm{PAO}, 삼각형 POB\mathrm{POB}는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서

∠APO=∠PAO\displaystyle \angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{PAO} , ∠OPB=∠OBP\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP}

가 성립한다. 그런데, 삼각형 PAO\mathrm{PAO}의 ∠AOP\angle \mathrm{AOP}에 대한 외각은 ∠AOQ\angle \mathrm{AOQ}이고,

∠AOQ=∠APO+∠PAO=2∠APO\displaystyle \angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{APO}+\angle \mathrm{PAO}=2\angle \mathrm{APO}

이다. 마찬가지의 논법으로

∠QOB=∠OPB+∠OBP=2∠OPB\displaystyle \angle \mathrm{QOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB}

임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면,

∠APB=12∠AOB\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}

임을 얻는다.

[2] 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때

파일:원주각 증명_2.png

호 AB\mathrm{AB}에 대한 원주각 ∠APB\angle \mathrm{APB}를 고려하자. 원의 반지름으로써 OP‾=OA‾=OB‾\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}가 성립하므로 삼각형 OAB\mathrm{OAB}, 삼각형 POB\mathrm{POB}는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 POB\mathrm{POB}에 대하여

∠OPB=∠OBP\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP}

이 성립한다. 또한, ∠POB\angle \mathrm{POB}의 외각은 ∠AOB\angle \mathrm{AOB}이고,

∠AOB=∠OPB+∠OBP=2∠OPB\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB}

이 성립하므로 결국

∠APB=12∠AOB\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}

임을 얻는다.

[3] 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때

파일:원주각 증명_3.png

호 AB\mathrm{AB}에 대한 원주각 ∠APB\angle \mathrm{APB}를 고려하고, 보조선으로 반지름 OP‾\overline{\mathrm{OP}}를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 OP‾=OA‾=OB‾\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}가 성립하므로 삼각형 PAO\mathrm{PAO}, 삼각형 POB\mathrm{POB}는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 OAP\mathrm{OAP}와 삼각형 OBP\mathrm{OBP}는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:

∠OAP=∠OPA\displaystyle \angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OPA} , ∠OPB=∠OBP\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP}

따라서

∠OBP=∠OPA+∠APB=∠OAP+∠APB\displaystyle \begin{aligned} \angle \mathrm{OBP}&=\angle \mathrm{OPA} +\angle \mathrm{APB} \\&=\angle \mathrm{OAP} +\angle \mathrm{APB} \end{aligned}

이고, 삼각형 QPB\mathrm{QPB}의 ∠PQB\angle \mathrm{PQB}에 대한 외각은 ∠AQB\angle \mathrm{AQB}이므로

∠AQB=∠OAP+2∠APB\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB}

또, 삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}의 ∠OQA\angle \mathrm{OQA}에 대한 외각은 ∠AQB\angle \mathrm{AQB}임에 따라

∠AQB=∠OAP+∠AOB\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB}

이상에서

∠OAP+∠AOB=∠OAP+2∠APB\displaystyle \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB}

의 결과를 얻으므로 정리하면,

∠APB=12∠AOB\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}

임을 얻는다.

따라서 우리는 [1]~[3]의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.

사실 α\alpha가 π/2\pi /2보다 큰 지 작은지 알면 \sin \alpha =\overline\mathrm{AB} /2R임을 이용하면 한 번에 나온다.

2.2. 성질 2 [편집]

위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기에 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.

[1] 원주각이 예각일 때

파일:나무_원주각_증명1_수정.png

우리는 보조선으로 선분 PQ\mathrm{PQ}를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

AO‾=PO‾=BO‾\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}}

이에 두 삼각형 PAO\mathrm{PAO}와 PBO\mathrm{PBO}는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

∠AOB=∠AOQ+∠QOB\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOQ}}+\angle{\mathrm{QOB}}

이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로

∠AOQ=2∠APO,∠QOB=2∠OPB\displaystyle \angle{\mathrm{AOQ}}=2\angle{\mathrm{APO}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{QOB}}=2\angle{\mathrm{OPB}}

이상에서

∠AOB=2(APO+∠OPB)=2∠APB\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2({\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}

임을 알 수 있다.

[2] 원주각이 직각일 때

파일:나무_원주각_증명2.png

우리는 보조선으로 선분 PO\mathrm{PO}를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

AO‾=PO‾=BO‾\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}}

이에 두 삼각형 PAO\mathrm{PAO}와 PBO\mathrm{PBO}는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

∠AOB=∠AOP+∠POB\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}}

그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로

∠AOP=2∠OPB,∠POB=2∠APO\displaystyle \angle{\mathrm{AOP}}=2\angle{\mathrm{OPB}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=2\angle{\mathrm{APO}}

이상에서

∠AOB=2(∠APO+∠OPB)=2∠APB\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}

가 됨을 알 수 있다.

[3] 원주각이 둔각일 때

파일:나무_원주각 증명 3.png

우리는 보조선으로 선분 PO\mathrm{PO}를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

AO‾=PO‾=BO‾\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}}

이에 두 삼각형 PAO\mathrm{PAO}와 PBO\mathrm{PBO}는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

∠AOB=2π−(∠AOP+∠POB)\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2\pi-(\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}})

삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같음을 이용하면,

∠AOP=π−2∠APO,∠POB=π−2∠OPB\displaystyle \angle{\mathrm{AOP}}=\pi-2\angle{\mathrm{APO}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=\pi-2\angle{\mathrm{OPB}}

이상에서

∠AOB=2(∠APO+∠OPB)=2∠APB\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}

가 됨을 알 수 있다.

2.3. 기타 성질 [편집]

  • 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 π\pi가 되므로, 원주각은 그 반은 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:

    파일:나무_원주각_성질3.png
  • 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
  • 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
    • 파일:나무_원주각_개요.png

      상단의 그림을 해석기하학적으로 접근하면, 선분 AB‾\overline{\rm AB}를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:

      ∠α=12acrd AB‾=arcsin⁡AB‾2=−i Log(iAB‾2+1−AB‾24)\displaystyle \begin{aligned} \angle \alpha &= \dfrac12 {\rm acrd}\, \overline{\rm AB} \\&= \arcsin \dfrac{\overline{\rm AB}}{2} \\& = -i\,{\rm Log} \biggl( i \dfrac{\overline{\rm AB}}{2} + \sqrt{1 - \dfrac{\overline{\rm AB}^2}{4}} \biggr) \end{aligned}

      acrd{\rm acrd}는 할선으로부터 그 중심각을 구하는 역할선 함수이며, arcsin⁡\arcsin은 역사인 함수이다. Log\rm Log는 복소로그함수, ii는 허수단위이다.

3. 응용 [편집]

3.1. 원에 내접하는 사각형 [편집]


파일:나무_원주각성질4.png

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 APBQ\mathrm{APBQ}를 고려하자. 이때, θ\theta와 θ′\theta'는 호 AB\mathrm{AB}의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 2π2\pi가 되므로

θ+θ′=π\displaystyle \theta+\theta'=\pi

의 결론을 얻는데, 이는 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 π\boldsymbol{\pi}가 됨을 보여준다.


파일:나무_원에 내접하는 사각형_내대각.png

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}과 이 사각형의 ∠CAB\angle {\mathrm{CAB}}의 외각 ∠PAC\angle {\mathrm{PAC}}를 고려하면

∠CAB=π−∠PAC\displaystyle \angle {\mathrm{CAB}}=\pi-\angle {\mathrm{PAC}}

이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 π\pi가 됨을 증명했으므로

∠CDB=π−∠CAB=π−(π−∠PAC)=∠PAC\displaystyle \begin{aligned} \angle{\mathrm{CDB}}&=\pi-\angle {\mathrm{CAB}} \\&=\pi-(\pi-\angle {\mathrm{PAC}}) \\&=\angle {\mathrm{PAC}} \end{aligned}

이 성립함을 알 수 있다. 이때, ∠CDB\angle{\mathrm{CDB}}를 ∠PAC\angle {\mathrm{PAC}}의 내대각이라 한다.

이상의 결과를 정리하면, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.

3.2. 네 점이 한 원 위에 있을 조건 [편집]


파일:namu_네원이_한 원위.png

그림과 같이 네 점 A\rm A, B\rm B, C\rm C, D\rm D가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
  • 두 점 C\rm C, D\rm D가 직선 AB\rm{AB}에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
  • ∠ACB=∠ADB\angle{\rm{ACB}}=\angle{\rm{ADB}}

3.3. 접선과 현이 이루는 각 [편집]


파일:나무_원주각_접선과현.png

위 그림과 같이 원 외부의 점 P\mathrm{P}에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 T\mathrm{T}이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 AT\mathrm{AT}에 대한 원주각 ∠AQT\angle \mathrm{AQT}는 ∠PTA\angle \mathrm{PTA}와 같다. 즉,

∠AQT=∠PTA\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA}

가 성립한다.

이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

파일:나무_원주각_접선과현_증명.png

점 Q\mathrm{Q}를 Q′\mathrm{Q'}으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로

∠AQT=∠AQ′T\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{AQ'T}

이때, TQ′‾\overline{\mathrm{TQ'}}이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 ∠TAQ′=π/2\angle \mathrm{TAQ'}=\pi/2임에 따라, △TAQ′\triangle \mathrm{TAQ'}은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 ∠PTQ′=π/2\angle \mathrm{PTQ'}=\pi/2이다. 따라서 다음이 성립한다.

π−(π2+∠AQ′T)=π2−∠AQT\displaystyle \pi-\left( \frac{\pi}{2}+\angle{\mathrm{AQ'T}} \right)=\frac{\pi}{2}-\angle \mathrm{AQT}

이상에서

∠AQ′T=∠AQT=∠PTA\displaystyle \angle \mathrm{AQ'T}=\angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA}

임을 얻는다.

이러한 성질을 흔히 접현각 성질이라고 줄여 부른다.

3.4. 방멱 정리 (원과 비례) [편집]

4. 기타 [편집]

  • 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.

5. 관련 문서 [편집]


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