사인 법칙

1. 개요

2. 증명

2.1. 원주각을 이용한 증명2.2. 벡터곱을 이용한 증명

3. 활용

3.1. 예제

4. 관련 항목

1. 개요 [편집]

Sine law

2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정에 따라 고등학교 2학년 때 배우게 되는, 평면기하학의 공식 중 하나.

삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.

\triangle{\mathrm{ABC}}

의 세 각의 크기

A

,

B

,

C

, 대변의 길이

a

,

b

,

c

, 그리고, 외접원의 반지름 길이

R

에 대해

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R

이 성립한다.

한편,

(\sin x)^{-1} = \csc x

가 성립하므로

\displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R

의 형태로도 쓸 수 있다.

1.1. 구면기하학에서 [편집]

한편 삼각형이 구 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다.

\displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R

즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.

1.2. 쌍곡기하학에서 [편집]

쌍곡기하학에서는 더해서

\displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R

분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.

2. 증명 [편집]

2.1. 원주각을 이용한 증명 [편집]

\triangle \mathrm{ABC}

의 외접원의 중심을

\mathrm{O}

라 하고,

\overline{\mathrm{BO}}

의 연장선이 원과 만나는 점을

\mathrm{A'}

라 하자. 그렇게 하면,

\overline{\mathrm{BA'}}

은 외접원의 지름이므로,

\overline{\mathrm{BA'}}=2R

이 된다. 또한,

\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c

임을 참고하라.

(ⅰ) $\triangle \mathrm{ABC}$ 가 예각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_예각.png

위 그림에서 원주각의 성질에 따라

\displaystyle \angle{A}=\angle{A'}

이고,

\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90^{\circ}

이다. 따라서

\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R}

이고 이것을 정리하면,

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

이 얻어진다.

(ⅱ) $\triangle \mathrm{ABC}$ 가 둔각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_둔각.png

위 그림에서 원주각의 성질에 따라

\displaystyle \angle{A}=180^{\circ}-\angle{A'}

이고,

\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90^{\circ}

이다. 따라서

\displaystyle \sin{A}=\sin{(180^{\circ}-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R}

이고[1] 이것을 정리하면,

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

얻어진다.

(ⅲ) $\triangle \mathrm{ABC}$ 가 직각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_직각.png

위 그림에서

\angle{A}=90^{\circ}

이다. 따라서

\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R

이므로

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

이 성립한다.

2.2. 벡터곱을 이용한 증명 [편집]

파일:사인법칙_증명_벡터외적.png

임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0}

따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.

\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B}

이때, 새로운 벡터

\mathbf{C}

를 아래와 같이 정의해보자.

\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B}

이제 벡터

\mathbf{A}

,

\mathbf{B}

,

\mathbf{C}

는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상

A

,

B

,

C

라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.

\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c

이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.

\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A}

우변은,

\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C}

위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,

\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c}

이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]

3. 활용 [편집]

각을 변으로 바꾸기

$\displaystyle \begin{aligned} \sin{A} &=\frac{a}{2R} \\ \sin{B}&=\frac{b}{2R} \\ \sin{C}&=\frac{c}{2R} \end{aligned}$

변을 각으로 바꾸기

$\displaystyle \begin{aligned} a&=2R\sin{A} \\ b&=2R\sin{B} \\ c&=2R\sin{C} \end{aligned}$

변의 비와 각에 따른 사인값의 비

$\displaystyle a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}$

그 외에도 삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.

3.1. 예제 [편집]

사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다.

파일:20190910(고2).png

[풀이]

세 변의 길이 비가

2:3:4

임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해

\cos{C}= \dfrac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot 2\cdot 3}=-\dfrac{1}{4}

이다. 정답은 ②번.

4. 관련 항목 [편집]

[1] 내접 사각형의 대각의 합이

180^{\circ}

인 것을 이용했다.[2] 다만, 위의 식에서

\dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R}

로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.