방멱 정리

power theorem

원의 현, 할선, 접선에 관한 정리를 의미한다. 여기서 방멱이란, 어떤 한 점 $\rm{P}$를 지나는 직선이 중심이 $\rm O$인 어떤 원 $O$와 만나는 점을 $\rm A$, $\rm B$라 했을 때, 두 선분의 곱 $\displaystyle \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}$를 가리킨다.

방멱 정리는 아래와 같이 3종류가 있다.

다만, 말이 3가지이지 결국 한 점 $\rm P$에 대해 임의의 직선에 대한 방멱이 점 $\rm P$가 반지름 $r$의 원의 중부인지 내부인지, 직선이 원에 접하는지 두 점에서 만나는지에 상관없이

로 일정하다는 것이다.

이 문서는 원주각 문서의 내용을 방멱으로 모두 이해하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 원주각 관련 정보를 모를 경우 해당 문서로 선수로 읽고 와야한다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_원과 비례_1_증명.png

보조선으로 $\overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{BD}}$를 사용한다. 이때,

이고,

이므로

임을 알 수 있다. 이상에서

이것을 정리하면,

을 얻는다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_원과 비례_2_증명.png

보조선으로 $\overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{BD}}$를 사용한다. 이때, $\triangle{\mathrm{APC}}$, $\triangle{\mathrm{BPD}}$에서 $\angle{\mathrm{BPD}}$는 공통인 각이고, $\square \mathrm{ACDB}$는 원에 내접하므로 $\angle \mathrm{PAC}$의 내대각 $\angle \mathrm{CDB}$는 같다. 따라서

이고,

이 성립하므로 이것을 정리하면,

을 얻는다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_할선과접선_증명.png

보조선으로 $\overline{\mathrm{AT}}$, $\overline{\mathrm{BT}}$를 사용하자. $\triangle{\mathrm{APT}}$, $\triangle{\mathrm{TPB}}$에서 $\angle{\mathrm{APT}}$는 공통이고, $\angle{\mathrm{ATP}}=\angle{\mathrm{ABT}}$[1]가 성립하므로

이고,

이 성립하므로 이것을 정리하면,

을 얻는다.

피타고라스 정리의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.

이것의 증명은 세 점 $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$가 원 위에 있다고 가정하고, 선분 $\rm CP$의 연장선과 원이 만나는 점을 $\rm D'$라 하자. 방멱 정리에 의하여 $\overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD'}$이 성립한다. 한편, $\overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD}$ 또한 성립하는데, 두 식을 연립하면 $\overline{\rm PD}=\overline{\rm PD'}$이다. 그런데 두 점 $\rm D$, $\rm D'$ 모두 선분 $\rm CP$의 연장선(혹은 해당 선분) 상에 존재하므로 두 점은 같아야 한다는 결론을 얻는다. 따라서 $\overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD}$을 만족하면, 네 점 $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$, $\rm D$는 한 원 위에 있다.