무한소수

1. 개요2. 순환소수

2.1. 순환소수의 유리화

3. 비순환소수4. 기타

1. 개요 [편집]

無限小數
무한소수는 소수점 밑으로 무한히 이어지는 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(유리수)와 비순환소수(무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.333333...[1] 이나 0.47834834834...[2] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다.

2. 순환소수 [편집]

일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 소수다. 나타낼 때는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[3]

$0.333333 \cdots = 0. \dot 3$
$0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4$
$0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4$

우리나라에서는 이 방법을 사용하고 있지만, 표현법에는 여러 가지가 있고, 순환마디 처음부터 끝까지 줄을 친다거나(

0.1 \overline{624}

) 괄호를 치는 등의 여러 가지 방법이 있다. 우리나라는 점을 찍는 걸 사용하므로, 시험을 볼 땐 점을 찍어야 한다.

첫째 자리부터 시작되면 순순환소수라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면 혼순환소수라고 한다.

2.1. 순환소수의 유리화 [편집]

순환소수의 유리화(분수로 고치기)는 다음과 같은 방법으로 가능하다.

대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. $0. \dot 3$ 의 경우
1. $a=0.333333 \cdots$ 로 놓으면
2. $10a=3.333333 \cdots$ (ㄱ)
3. $a=0.333333 \cdots$ (ㄴ)
4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $9a=3 \; \therefore a=\displaystyle \frac{1}{3}$ (약분을 해야 한다) [4]
$0. \dot 14285 \dot 7$ 의 경우
1. $a=0.142857142857 \cdots$ 로 놓으면
2. $1000000a=142857.142857 \cdots$ (ㄱ)
3. $a=0.142857142857 \cdots$ (ㄴ)
4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7}$

등비급수를 이용한 방법
2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 $2.32 \dot 4$ 는 다음과 같이 유리화한다.
1. $2.32 \dot 4$ 는 $2.32 + 0.00 \dot 4$ 로 쓸 수 있다.
2. $0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{1}{100} \left( \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n$
  여기서 $\Sigma$ 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 $\displaystyle \frac{1}{10}$ 인 등비급수다.
3. 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 $\displaystyle \frac{a}{1 - r}$ 이므로,
  $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n = \displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}$
4. 그러므로 $2.32 \dot 4 = 2.32 + 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{1}{9} \right) = \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{900} = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225}$

쉬운 방법
위와 같이 $2.32 \dot 4$ 를 예로 들면
- 분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
- 분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.
위와 같은 과정을 따르면 $\displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900}$ 이 나오게 된다. 약분까지 하면 $\displaystyle \frac{523}{225}$ .
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위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.
$\begin{aligned} 2.32 + 0.00 \dot 4 &= \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \right) \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \times 10} \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \displaystyle \frac{2324 - 232}{900} \left( = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right) \end{aligned}$

여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.

3. 비순환소수 [편집]

일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하지 않는 소수다. 순환소수(유리수)와 달리 분모, 분자가 서로소로 이루어진 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수며 당연히 유리수에 포함되지 않는다.

비순환소수로는

\sqrt{2}

,

\sqrt{3}

등 대수적인 무리수와,

\pi

(파이, 원주율), 자연로그의 밑

e

, 오메가 상수, 겔폰트-슈나이더 상수 등 초월수에 속하는 무리수가 있다.

4. 기타 [편집]

십진법에서 유한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 무한소수가 될 수 있다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 예를 들어 0.2를 이진법으로 나타내면

0. \dot 001 \dot 1_{(2)}

이 나온다. 일반적으로 기약분수를

k

진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가

k

의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.

[1] 순환마디는 3이다.[2] 순환마디는 834이다.[3] 숫자가 아니라 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[4] 같은 방식으로

0. \dot 9

를 유리화 하면

9a=9 \; \therefore a=1

이므로

0. \dot 9=1

이라는 드립도 있다.