무연근

extraneous root · 無緣根

방정식 중 분수방정식이나 무리방정식을 풀기 위하여 정방정식의 꼴로 고친 후 구한 근 중에서, 원래 풀고자 했던 방정식의 근이 아닌 것. 한자를 그대로 해석하면 인연(緣)이 없는(無) 근(根)이라는 뜻이다. 곧, 원래 풀고자 하는 방정식과는 인연이 없는 근이라는 뜻, 그 방정식의 진짜 근이 아니라는 뜻이다.

본래 등식의 성질에 따르면, 어떤 등식의 양변에 값이 같은 수나 식을 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도[1] 여전히 등식이다. 다시 말하면 이렇게 등식을 조작해도 그 등식의 본질은 변하지 않는다. 그래서 방정식을 풀 때 이러한 등식의 성질을 이용한다. 그러나 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 문제가 발생한다. 다음 분수방정식의 풀이를 보자.

분명히 $x=-1$과 $x=8$은 방정식 $(x+1)(x-8)=0$의 근이지만, 이중에서 $x=-1$은 분수방정식 $\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5$의 근이 아니다. $x=-1$이면 분모가 0이 되고 0으로 나누는 것은 금지되어 있기 때문이다.

이번에는 다음 무리방정식의 풀이를 보자.

분명히 $x=-1$과 $x=4$는 방정식 $(x+1)(x-4)=0$의 근이지만, 이중에서 $x=-1$은 무리방정식 $\sqrt{x+5}=x-1$의 근이 아니다. $x=-1$이면 $x-1$의 값이 음수가 되는데, 보통 어떤 수나 식의 제곱근의 값은 음수를 취하지 않기 때문이다.[2]

한마디로, 무연근이 생기는 이유는 '분모는 0이 될 수 없다', '어떤 수나 식의 제곱근은 0 또는 양수만을 취한다'라는 약속 때문이다. 사실 $\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5$를 $3x+3=(x-5)(x+1)$로 고친다거나 $\sqrt{x+5}=x-1$을 $x+5=(x-1)^2$으로 고치는 것은 이러한 약속을 은근슬쩍 무시해 버리는 것이다. 요컨대, 수학의 약속에 따라 본래의 분수방정식 $\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5$에는 $\boldsymbol{x\neq-1}$, 본래의 무리방정식 $\sqrt{x+5}=x-1$에는 $\boldsymbol{x\geq1}$라는 제약이 원천적으로 내포되어 있다. 그러나 각각을 정방정식의 꼴로 고친 $3x+3=(x-5)(x+1)$이나 $x+5=(x-1)^2$은 그 자체로 $x$의 범위를 정해놓을 근거가 없다. 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 이 점을 주의하면서, 방정식의 풀이의 처음부터 끝까지 미지수의 범위를 확실하게 준수해야 무연근을 진짜 근으로 오해하지 않을 수 있다. 다만 0으로 나눌 수 없음이 당연한 유리방정식과는 달리, 무리방정식은 해 집합이 무엇인지 명시해놓는 것이 근본적인 해결법이다.

다시 말해 위 무리방정식의 지문은 아래와 같이 바꿔야 무연근이 나오지 않는다.

이를 좌표평면에 그래프로 나타냄으로써 설명할 수도 있다. 아래의 풀이를 보면, 무연근은 결코 그래프의 교점[3]이 되지 않음을 알 수 있다.

대한민국에서는 2007 개정 교육과정에서 분수방정식, 분수부등식, 무리방정식과 함께 중요하게 다뤘으나, 2009 개정 교육과정에서 전면 삭제되었다. 그러다가 심화 수학Ⅰ에서 부활하긴 했으나 수능에 출제되지도 않을뿐더러 배우는 학생이 적은 과목이라 사실상 이 내용은 사장(...)되었다.

그러나 아무리 무연근의 개념이 교과서에 명시되어 있지 않더라도 수능 수학에서는 무연근의 존재를 염두에 두고 분수방정식과 무리방정식을 푸는 것이 도움이 될 때가 많다.