대칭식

임의의 정식 $f(x, y, z, ...)$에 대해 어느 두 문자를 교환해도 식이 변함없을 때, 식 $f(x, y, z, ...)$을 "대칭식" 이라고 한다. 예를 들면, $f(x, y, z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$는 $f(x, y, z)=f(y, x, z)=f(x, z, y)=f(z, y, x)...$를 만족하므로 대칭식이다.

대칭식의 집합은 덧셈, 뺄셈, 상수배, 곱셈에 대해 닫혀 있다.

따라서 모든 대칭식은 기본 대칭식들의 합과 차, 곱으로 표현 가능하다.

중등과정에서는 다항식의 계산이나 인수분해 등에서 교대식과 더불어 3변수 경우가 흥미롭게 혹은 유용하게 쓰일 수 있는 주제 정도이지만, 대수학으로 넘어오면 대칭식인 다항식 대칭다항식(symmetric polynomial)은 여러모로 어마어마한 지위를 차지하게 된다.

추상대수학의 군론을 이용하면 다음의 정의가 가능하다. 대칭군 $S_n$이 $n$개의 변수 $x_1, x_2, \cdots, x_{n}$에 단순치환으로 작용할 때, 다항식환 $k[x_1, \cdots, x_n]$에 표현을 유도한다고 볼 수 있다. 이 표현에 대해 불변인 다항식들이 대칭다항식이 된다.

이 정의가 강력한 것은 대칭군을 일반적인 군 $G$로 바꾸고, $G$에 대한 불변 다항식(invariant polynomial)들을 비슷하게 생각할 수 있다는 것이다. 교대식의 경우도 $A_n$에 대한 불변다항식이면서 단일 치환(transposition)에 부호가 바뀌는 것으로 볼 수 있는 것. 일반적으로 이런 불변 다항식의 집합을 $k[x]^{G}$로 쓰고, 이들은 덧셈 및 곱셈에 대해 닫혀 있는 환을 이룬다.

기본 대칭다항식(elementary symmetric polynomial)이란 n개의 변수 $x_1, x_2, \cdots, x_{n}$에 대해서 이 중 $k$개를 뽑은 곱들의 총합을 말한다.
$\displaystyle e_k = s_k(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}$
예로 $n=3$이면 $e_1 = x+y+z, e_2 = xy+yz+zx, e_3 = xyz$ 정도가 되겠다. 일반적으로 다음처럼 근과 계수와의 관계에서 튀어나오는 녀석들로도 생각될 수 있다.
$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (t + x_i) = t^n + \sum_{k=1}^{n} e_k(x_1, \cdots, x_n) t^{n-k}$
이들 기본대칭다항식들을 이용하면 대칭다항식을 유일한 방식으로 나타낼 수 있다. 정확히는 다음이 성립한다.

예를 들어 $n=3$의 경우 $x^2 + y^2 + z^2 = e_1^2 - 2e_2, x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = e_1^3 - 3 e_1 e_2$ 등등이 성립한다. 주어진 대칭다항식을 차수에 따라 분류하고, $e_k$의 차수가 정확히 k라는 사실을 이용하면 표현을 더욱 쉽게 할 수 있다.

경시대회에선 대칭다항식의 기본정리를 사용하여 식의 표현을 간단히 하는 경우가 많다. 특히 그나마 계산이 편한 3변수인 경우가 많이 쓰인다. 다만 주의할 점은 절대부등식등을 증명할 때인데, 실수 범위에서는 $(x,y,z) \rightarrow (e_1, e_2, e_3)$의 대응이 명확하지 않기 때문에 [1] 무작정 기본대칭다항식으로 바꾸면 곤란한 경우도 있다.

방정식의 근의 대칭을 다루는 갈루아 이론의 근간 중 하나가 된다. n차 유리계수 다항식 $f(t)$의 근 하나가 $\alpha_1$이고 이들의 켤레근이 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$일 때(즉 $f(t) = \prod (t-\alpha_i)$ 일때), 이 켤레근에 대한 대칭다항식은 유리수가 된다. 근과 계수와의 관계에 의해서 기본 대칭다항식들이 계수가 되고, 모든 대칭다항식이 조합이 되기 때문.

반대로 말하면 방정식을 푸는 것은 '기본 대칭다항식의 값을 알 때, 각각의 변수 값을 어떻게 알 수 있을까?'의 문제가 된다. 이에 대한 답도 대칭다항식에 달려 있다.
이차방정식을 풀 때는 $x+y, xy$에 대한 정보로부터 대칭다항식 $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$을 이끌어냈다. 근의 공식 안에 들어가 있는 판별식 $b^2-4ac$가 저 $(x-y)^2$와 관련이 있는 것이다.
삼차방정식은 조금 더 복잡하지만, 교대식 $(x-y)(y-z)(z-x)$의 제곱이 대칭식임을 우선 이용한다. 그럼 제곱근을 풀어 $(x-y)(y-z)(z-x)$의 값을 얻을 수 있다. 그 다음은 훨씬 복잡하지만... $x + \omega y + \omega^2 z$($\omega = e^{2 \pi i /3}$)의 세제곱이 대칭식과 교대식의 합으로 나타나짐을 이용해서[2] 세제곱근을 풀면 된다. 이렇게 카르다노의 근의 공식을 해석할 수도 있다.