교대식

1. 정의2. 성질

1. 정의 [편집]

임의의 정식

f(x, y, z, ...)

에 대해 어느 두 문자를 교환하여도 식이 원래의 식과 부호가 반대인 것으로 될 때,

f(x, y, z, ...)

를 교대식이라 한다. 대칭식 항목과 같이 볼 것.

비슷하게 교대다항식(alternating polynomial)이 일반적 교대식보다 중요하지만, 아래의 성질처럼 교대다항식은 대칭다항식만으로 묘사가 가능하다.

2. 성질 [편집]

교대다항식은 항상 대칭다항식 곱하기 특정 식의 꼴을 지닌다. 보통 Vandermonde determinant라 불리는 이 특정 식은 다음 두 가지의 행렬식/인수분해 표현이 존재한다.

V(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{i<j} (x_i - x_j) = \det(x_i^{j-1})_{i,j}

예시로

n=3

이면

V(x,y,z) = (x-y)(x-z)(y-z) = x^2 y - x^2 z + y^2 z - y^2 x + z^2 x - z^2 y

이다.

$n=3$ 일 때의 증명 : $f(x, y, z)$ 가 교대식이므로 $f(x, y, z)=-f(x, z, y)$ 이다. 이때, 이 식은 $x, y, z$ 에 관한 항등식이므로 양변에 $z$ 대신 $y$ 를 대입하면 $f(x, y, y)=-f(x, y, y)$ 이다. 즉, $f(x,y,y)=0$ 이므로 이는 다항식 $f(x,y,z)$ 가 $(y-z)$ 로 나누어떨어짐을 의미한다. 이때, 다시 $f(x, y, z)$ 가 교대식임을 사용하면 앞과 같이 $(x-y), (y-z), (z-x)$ 를 인수로 가짐을 알 수 있다. 즉, $f(x,y,z)$ 는 반드시 $(x-y)(y-z)(z-x)$ 를 인수로 갖는다. 일반적 n의 경우에도 비슷하게 진행하면 된다.

이 반데르몬드 행렬식의 제곱이 대칭식이므로, 교대다항식은 덧셈/뺄셈에 대해서는 닫혀 있지만 곱했을 때는 (대칭식)*(교대식)=(교대식), (교대식)*(교대식)=(대칭식)을 만족한다.
교대군

A_n

에 대한 불변다항식(대칭식 항목 참조)은 (대칭식)+(교대식)의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

갈루아 이론 중 다항식의 해법을 구할 때는, 근들에 대한 저 Vandermonde determinant의 제곱이 판별식(discriminant)이라는 이름으로 많이 등장한다.

V(x)

의 제곱인 판별식은 대칭식이므로, 제곱근을 구하면

V(x)

의 값을 구할 수 있는 것. 이차방정식의

b^2 - 4ac

의 일반화로 볼 수 있다.