닮음(행렬)

체 $F$에 대해, $n$차 정사각행렬 $A$, $B$가 닮음(similar), 또는 상사(相似)[1]라는 것은 $P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$가 존재하여, $A=PBP^{-1}$임을 말한다. 이 경우, $A\sim B$라 표현한다.

$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$는 $F^{n}$의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, $A$, $B$가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

닮음불변량이란, 닮음 관계에 있는 행렬들이 서로 같은 값을 갖는 것을 의미하며, 다음과 같은 것들이 있다.

만약, 대각행렬[3] $D$이 존재하여, $A=PDP^{-1}$라 하자. 그러면, $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$이고, $D^{k}$를 계산하는 것은, $A^{k}$를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다.[4]그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[5] $B$에 대해, $A=PBP^{-1}$가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[6] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.