기약잉여계

4를 예시로 들어보면, $\left\{0,1,2,3\right\}$은 완전잉여계, 그리고 4와 서로소가 아닌 0[2], 2를 제외한 $\left\{1,3\right\}$는 기약잉여계가 된다.
기약잉여계가 중요한 이유는, 이들에게는 곱셈 역원이 있다는 점때문이다. 예컨대, $6$에 대한 완전잉여계 $\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$와 그것의 기약잉여계 $\left\{1,5\right\}$를 생각하자. $\left\{1,5\right\}$의 원소는 모두 곱셈 역원을 갖는다. 그러나, 다른 완전잉여계의 원소는 그렇지 않다. 이는, $m$과 $a$가 서로소일 때, 정수 $x,\,y$가 존재하여 $ax+my=1$ 즉, $ax\equiv 1\left(m\right)$이기 때문이다.

정수환의 몫환의 단위원의 모임인 $\left(Z/mZ\right)^{\times}$이 $m$을 법으로 한 기약잉여계와 같다. 동치류들의 모임인 $\left(Z/mZ\right)^{\times}$의 동치류에서 대표원을 하나씩 선택하여 구성한 것이 기약잉여계라는 것을 쉽게 알 수 있다.