구구단

구구단표
0단*	1단*	2단	3단	4단	5단	6단	7단	8단	9단
0×1=0	1×1=1	2×1=2	3×1=3	4×1=4	5×1=5	6×1=6	7×1=7	8×1=8	9×1=9
0×2=0	1×2=2	2×2=4	3×2=6	4×2=8	5×2=10	6×2=12	7×2=14	8×2=16	9×2=18
0×3=0	1×3=3	2×3=6	3×3=9	4×3=12	5×3=15	6×3=18	7×3=21	8×3=24	9×3=27
0×4=0	1×4=4	2×4=8	3×4=12	4×4=16	5×4=20	6×4=24	7×4=28	8×4=32	9×4=36
0×5=0	1×5=5	2×5=10	3×5=15	4×5=20	5×5=25	6×5=30	7×5=35	8×5=40	9×5=45
0×6=0	1×6=6	2×6=12	3×6=18	4×6=24	5×6=30	6×6=36	7×6=42	8×6=48	9×6=54
0×7=0	1×7=7	2×7=14	3×7=21	4×7=28	5×7=35	6×7=42	7×7=49	8×7=56	9×7=63
0×8=0	1×8=8	2×8=16	3×8=24	4×8=32	5×8=40	6×8=48	7×8=56	8×8=64	9×8=72
0×9=0	1×9=9	2×9=18	3×9=27	4×9=36	5×9=45	6×9=54	7×9=63	8×9=72	9×9=81
* 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.

1. 개요2. 상세

2.1. 변형 구구단

2.1.1. 가일구구/감일구구

2.2. 지수2.3. 집합론2.4. 프로그래밍 언어에서 구구단 출력

3. 기타4. 관련 문서

1. 개요 [편집]

九九段

영문명은 Times Table(곱셈표).

기초적인 곱셈표로, 분배법칙, 지수법칙 등과 결합되어 곱셈 계산을 대단히 빠르게 한다.[1] 구구법(九九法)이라고도 한다. 한국에서는 초등학교 2학년 2학기 수학 [2] 1단원에 '곱셈구구'라는 이름으로 나온다. 과거 어르신들의 증언에 따르면 자신들의 어린 시절에는 구구단을 못 외우면 나머지공부를 시켰다고 한다. 심지어 춘추 80이 넘었는데도 아직도 구구단을 일본어로 외우는 사람도 있을 정도이다. 이 경우는 일제 강점기에 학교를 다녔을 가능성이 높다. 당시에는 초등학교에서조차 일본어 상용을 강요하여 구구단도 일본어로 외우게 했기 때문. 소학교 출신들은 2~3학년, 간이학교 출신들은 1학년 때 배웠다.[3]

인간은 10진수를 사용하므로, 일반적으로 0부터 9까지의 숫자를 서로 곱하여 나오는 값들을 늘어놓은 목록이다. 다만 0단, 1단의 경우 0 × n = 0, 1 × n = n이므로 가장 쉬워서 열외하는 경우가 절대 다수다. 여기서 1은 곱셈에 대한 항등원임을 알 수 있다.

특유의 리듬에 맞추어 '오 사(는) 이십, 오 오는 이십 오'와 같이 외우는 게 보통. 원숭이 엉덩이는 빨개와 같은 멜로디다. 인터넷을 찾아보면 구구단송 등이 있을 것이다.

논리곱
∧	0	1
0	0	0
1	0	1

컴퓨터의 경우, 구구단은 논리곱에 대응한다.

2. 상세 [편집]

십자식 구구단
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1단부터 9단까지 있다. 2단과 5단이 가장 외우기 쉽다. 2단은 짝수를 작은 순서대로 말하며 십의 자릿수를 올리면 되고 5단은 0과 5를 번갈아가면서 십의 자릿수를 올리면 되기 때문이다. 5단은 두 번 외칠 때마다 십의 자릿수가 올라가니 알아서 리듬을 타 보자. 9단은 09, 18, 27, 36과 같이 십의 자리가 증가한 만큼 일의 자리가 감소한다는 규칙성이 있기 때문에 쉬운 축이다. 9가 10 - 1이기 때문에 무조건 일의 자리가 1씩 빠진다.

8단은 십의 자릿수가 1씩 늘 때 일의 자릿수가 2씩 줄다가 일의 자리가 0이 되면 다시 같은 십의 자리부터 시작해 8부터 시작해서 2씩 내려가는 방식으로 외울 수 있다.(08, 16, 24, 32, 40) 9단에서의 방법을 비슷하게 적용할 수 있으나, 이걸로 외울 정도면 보통 구구단을 다 외우고 난 상태인 경우가 많다. 왜냐하면 2씩 떨어지는 일 자리수를 거꾸로 계산한다는 점 때문에 헷갈리기 십상이며, 40에서 한 번 쉬고 넘어간다는 점 때문에 중간에 흐름이 끊길 가능성이 있다.

그리고 7단까지는 7×6=42를 6×7=42에서 찾아 구하는 등 이전 및 이후 단에서 찾은 후 더하거나 빼는 식으로 교사의 물음에 빠르게 대답할 수 있으나, 8단의 경우 40까지의 계산 결과에 40씩이나 더한 값을 대답으로 요구하므로 올라가기는 벅차고 내려가기도 초등학교 2학년 치고 쉽지 않다. 이런 계륵 같은 상황에서 해당 단에서 아무거나 뽑아 무작위로 답하라는 물음에 8×8=64를 답하지 못할 가능성이 매우 높다. 7단과 함께 통째로 외우는 것이 편하며 구구단에서 가장 어려운 곳으로 꼽힌다.

2.1. 변형 구구단 [편집]

구구단 외우기를 이용한 "구구단을 외자"라는 게임이 있으며 의외로 바로 대답하려고 하면 쉽지 않을 수도 있다. 다만 변형 구구단이나 술 게임으로 한다면 나름 난이도 있는 게임이 된다. 그리고 무한도전 오호츠크해 편에서는 박명수가 이 게임의 난이도를 낮춘 "더하기를 하자"란 게임을 만들기도 했다.

일본에서 구구단을 읽을 때는 변형된 독법이 많으니 주의해야 한다. 예컨대 3*3은 '사잔', 3*6은 '사부로쿠', 3*8은 '산파', 8*8은 '핫파' 등이다. 일본 망가 및 애니인 3X3 EYES를 읽을 때도 3X3은 "사잔"으로 읽으며, 삼삼드래의 명칭이 저렇게 된 것도 원 명칭인 사잔도라(サザンドラ)가 구구단에서 유래했기 때문이다. ~~얘네는 달력 읽기도 그렇고 숫자를 활용하는 표현은 쓸데없이 복잡하다.~~

2.1.1. 가일구구/감일구구 [편집]

가일구구
0단*	1단*	2단	3단	4단	5단	6단	7단	8단	9단
0×1=1	1×1=2	2×1=3	3×1=4	4×1=5	5×1=6	6×1=7	7×1=8	8×1=9	9×1=10
0×2=1	1×2=3	2×2=5	3×2=7	4×2=9	5×2=11	6×2=13	7×2=15	8×2=17	9×2=19
0×3=1	1×3=4	2×3=7	3×3=10	4×3=13	5×3=16	6×3=19	7×3=22	8×3=25	9×3=28
0×4=1	1×4=5	2×4=9	3×4=13	4×4=17	5×4=21	6×4=25	7×4=29	8×4=33	9×4=37
0×5=1	1×5=6	2×5=11	3×5=16	4×5=21	5×5=26	6×5=31	7×5=36	8×5=41	9×5=46
0×6=1	1×6=7	2×6=13	3×6=19	4×6=25	5×6=31	6×6=37	7×6=43	8×6=49	9×6=55
0×7=1	1×7=8	2×7=15	3×7=22	4×7=29	5×7=36	6×7=43	7×7=50	8×7=57	9×7=64
0×8=1	1×8=9	2×8=17	3×8=25	4×8=33	5×8=41	6×8=49	7×8=57	8×8=65	9×8=73
0×9=1	1×9=10	2×9=19	3×9=28	4×9=37	5×9=46	6×9=55	7×9=64	8×9=73	9×9=82
* 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.

감일구구
0단*	1단*	2단	3단	4단	5단	6단	7단	8단	9단
0×1=-1	1×1=0	2×1=1	3×1=2	4×1=3	5×1=4	6×1=5	7×1=6	8×1=7	9×1=8
0×2=-1	1×2=1	2×2=3	3×2=5	4×2=7	5×2=9	6×2=11	7×2=13	8×2=15	9×2=17
0×3=-1	1×3=2	2×3=5	3×3=8	4×3=11	5×3=14	6×3=17	7×3=20	8×3=23	9×3=26
0×4=-1	1×4=3	2×4=7	3×4=11	4×4=15	5×4=19	6×4=23	7×4=27	8×4=31	9×4=35
0×5=-1	1×5=4	2×5=9	3×5=14	4×5=19	5×5=24	6×5=29	7×5=34	8×5=39	9×5=44
0×6=-1	1×6=5	2×6=11	3×6=17	4×6=23	5×6=29	6×6=35	7×6=41	8×6=47	9×6=53
0×7=-1	1×7=6	2×7=13	3×7=20	4×7=27	5×7=34	6×7=41	7×7=48	8×7=55	9×7=62
0×8=-1	1×8=7	2×8=15	3×8=23	4×8=31	5×8=39	6×8=47	7×8=55	8×8=63	9×8=71
0×9=-1	1×9=8	2×9=17	3×9=26	4×9=35	5×9=44	6×9=53	7×9=62	8×9=71	9×9=80
* 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.

일반 구구단의 곱에 1을 더하거나 빼는 방식. 이 방식은 가족오락관에서 폭탄 게임 중 하나와 브레인 서바이버 로또 구구단 코너에도 쓰여졌다. 이 때는 구구단의 정답에 특정 수를 더하거나 빼는 형식. 그 중에서는 구구단 셈의 결과에 1을 더한 값을 외우는 가일구구가 유명하다. 구구단의 정답을 누적해서 더해나가는 방식으로 할 수도 있다.

2.2. 지수 [편집]

지수 개념도 있으며 단마다 같은 수를 곱하는 부분이 있기 때문. 또한 2와 3 한정으로 세제곱 이상의 거듭제곱이 존재한다. ~~5도 고등학교에서 상용 로그 쓰다보면 외우지 않나~~ ~~어차피 대학가면 다 ln만 쓰니까 몰라도 된다~~

2×4 = 4×2 = 2×2×2 = 2³
2×8 = 4×4 = 8×2 = 2×2×2×2 = 2⁴
4×8 = 8×4 = 2×2×2×2×2 = 2⁵
8×8 = 2×2×2×2×2×2 = 2⁶
3×9 = 9×3 = 3×3×3 = 3³
9×9 = 3×3×3×3 = 3⁴

이 성질을 알면 지수 연산이 한결 편해진다. ~~구구단에 없는 건 어쩌고~~ ~~고등학교 때 신나게 계산하게 되니 걱정하지 말자~~

2.3. 집합론 [편집]

한편 좀 더 심화된 시각으로 보면 곱집합의 사상(Map)이라는 것을 알 수 있다. 이는 다음으로 표현 가능하다.

$({\mathbb Z}\cap[1, 9])^2 \mapsto {\mathbb Z}$

즉, 정수의 순서쌍(= 격자점)에서 정수로 가는 함수로 볼 수 있다.

2.4. 프로그래밍 언어에서 구구단 출력 [편집]

#include <stdio.h>

int main(void) {
   int i, j;
   for (i = 2; i <= 9; i++) {
      for (j = 1; j <= 9; j++)
         printf("%d × %d = %d\n", i, j, i * j);
   }
   
   return 0;
}

위 코드는 C언어 기준이다. 다른 언어의 예는 문서 참조.

3. 기타 [편집]

최근 맹목적인 구구단 암기에 반대하는 견해들이 있다. 곱셈의 원리를 배우기 전에 구구단을 먼저 암기하는 것에 대한 반발이다. 실제로 유럽의 여러 국가에서는 구구단을 외우지 않거나 5단까지 외우는 경우도 많다.

미국에서는 12단[4]까지, 인도에서는 19단까지, 심지어 24단까지도 외운다. 두 자릿수의 곱셈을 더 빠르게 할 수 있다나 뭐라나? 다만 평소에 10단 후부터 사용할 일은 거의 없다. 그냥 기존의 9단까지를 이용하면 되니까. 차라리 다항식 곱셈공식 및 인수분해를 쓰는 게 낫다.[5]

2000년대에 이미 대한민국에서도 초등학생 때 19단 외우기가 학부모와 사교육을 통해 권장되고 있었다. '19단송'이라는 노래까지 있었을 정도. 하지만 2010년대 들어서 19단 열풍은 시들해졌다.

베다수학이라는 19단의 두 자리수 계산이 가능한 인도식 기법이 있다. (10+a) * (10+b) = (10+a+b)*10 + a*b로 계산하는 것.[6] 익숙해지면 남들보다 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있다고 한다. 한데 우리나라에서 19단 열풍이 불 때는 정작 이 본질은 모르고 무작정 외우기만 더 시켜대는 바람에 아무런 의미도 얻지 못했다.

중국의 관리들이 평민이나 천민들이 알지 못하도록 일부러 어렵게 9단부터 거꾸로 외운 데서 구구단이라는 이름이 유래했다는 이야기도 있다.

부여 쌍북리에서 발견된 6~7세기 백제에서 출토된 목간에서 한국 최초의 구구단표가 확인되었다. # # 참고로 이 구구단표가 발굴되기 이전까지 중국에서 일본으로 전래되었다가 다시 거꾸로 한반도로 전래되었다는 가설이 2000년대 초반에 유행했었는데 이 유물이 발굴되면서 일본에서 전래되었다는 가설을 단번에 종식시켰다.

중국어로 구구단을 외울 때는 정답이 한 자리 수면 得(얻을 득)이 붙고, 두 자리 수이면 안 붙는다.

포병 부대에서는 포병숫자로 구구단도 시킨다.

4. 관련 문서 [편집]

네이피어 계산봉 - 구구단을 존 네이피어가 변형한 것이다.
사칙연산
조은정(강사) - 개념강좌 시리즈는 모두 구구단으로 시작한다.

[1] 너무 일상적으로 쓰는 것이라 모를 수도 있는데, 곱셈을 덧셈의 반복으로만 계산한다고 생각해보자.[2] 과거에는 산수.[3] 일제 당시 간이학교는 2학년까지만 있었는데, 간이학교 산수 시간에는 1학년 1학기 때 기초적인 수 개념과 덧셈, 뺄셈 정도만, 1학년 2학기에서 곱셈과 나눗셈 등을 가르쳤기 때문. 1학년 3학기 때는 그 동안 배운 사칙연산을 활용하는 단계에 접어들고, 2학년 때는 반올림, 분수, 소수, 주산을 배웠다.[4] 미국은 12진법을 많이 쓰는 나라다. 길이의 단위인 1foot(feet)도 12inch. 그리고 우리는 연필에만 적용하는 dozen을 자주 쓴다.[5] 예를 들면 51×49의 경우, (50+1)(50-1)=50²-1²로 계산하는 것이 훨씬 빠르다. 물론, 해당 곱셈이 어떤 꼴의 다항식인가를 눈치챌 수 있어야 한다.[6] 예를 들어
19 * 19 =
(19+9)*10 + 9*9 =
280 + 81 = 361
이 되는 것.