교환자

수학 및 물리학에서 사용되는 이항연산 기호 중 하나로, 보통 교환법칙이 '실패'하는 정도를 나타내는 양으로 생각된다. 분야에 따라서 정의와 개념이 서로 다르지만, 이런 류의 개념들이 다 그렇듯이 조금만 파고들면 모두 다 밀접하게 관련되어 있다.

물리학, 특히 양자역학에서의 교환자는 보통 두 '연산자' $A,B$에 대해 정의되며, 나름의 물리학적 의미를 가진다. 반대/상보적인 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다.

교환자 연산은 $\left[ A, B \right] = AB - BA$ 로 정의한다.
반교환자 연산은 $\left\{ A, B \right\} = AB + BA$ 로 정의한다.

경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 $\left[ \ \ \right]_+$ 와 $\left[ \ \ \right]_-$ 로 표현하기도 한다. (주로 둘을 한번에 $\left[ \ \ \right]_\pm$ 처럼 표기하는 귀차니즘편의를 위해서이다.)

잘 보면 알겠지만, 교환법칙이 성립되는 집합의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 연산자들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 행렬이다.[1]

맨 아래 식은 Baker–Campbell–Hausdorff 공식의 일종이다.

물리학에서는 양자역학을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 $\hat{A}$ 와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 $\hat{A}$ 의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다.

$\displaystyle {d \hat{A} \over dt} = {1 \over i\hbar} \ \left[ \hat{A}, \hat{H} \right]$

양자장론에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 이차양자화 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다. 헬게이트 오픈 교환자를 사용하면 보손을, 역교환자를 사용하면 페르미온을 만들어낼 수 있다.

분야마다 서로 다른 개념이 되므로 유의하자. 물론 모두 연관되어 있다.

군 $G$의 두 원소 $a,b$의 교환자는 $[a,b] = a b a^{-1}b^{-1}$로 정의된다.
유한군의 이론에서는 교환자 자체보다는 교환자들로 생성되는 군인 교환자 부분군(commutator subgroup) $G'=[G,G]$이 더 큰 의미를 가질 때가 많다. 이 $G'$는 군의 몫(quotient) $G/H$이 가환군이 되게 하는 최소의 군이라고 해석될 수도 있다. 따라서 군을 가환군의 열로 분해할 때, 즉 solvable series 등을 생각할 때 중요하게 사용되는 개념이다.

위처럼 $[A,B]=AB-BA$로 정의된다. 다만 선형대수학 자체에서 깊게 다루지는 않고, 아래의 리군의 경우에서 주로 사용하게 된다. 사실 무한차원 행렬을 수학에서 '엄밀하게' 정의하려면 함수해석학 등 대학원 과정 이상의 고급 이론이 필요하기 때문에 넘어가는 이유이기도 하다.

교환자의 성질은 무한차원과 유한차원일 때 매우 큰 차이가 있다. 유한차원에서 교환자의 주대각합은 항상 0이므로 교환자는 항등행렬이 될 수 없지만, 무한차원에서는 물리학의 예처럼 버젓이 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 등등이 일어나고 있다.

여기서부터는 리 괄호 및 리 브라켓(Lie bracket) 이라는 이름으로 더 많이 불린다.

미분다양체 위의 벡터장 $X$와 함수 $f$가 있을 때, $X$에 대한 미분 $Xf$를 $Xf(p) = df|_{p}(X(p))$로 정의할 수 있다. 따라서 벡터장과 1계 미분연산자 사이에 일대일 대응이 존재한다.

두 벡터장 혹은 1계 미분연산자 $X,Y$가 있을 때, 두 연산자의 합성 $XY$는 일반적으로 2계미분이므로 벡터장으로 쓸 수 없다. 하지만 흥미롭게도 $X(Yf)-Y(Xf)$를 계산하면 2계미분 항들이 모두 소거되면서 1계 미분연산자가 되는데, 이에 대응되는 연산자 혹은 벡터장을 교환자 혹은 리 괄호 $[X,Y]$로 정의한다.

보통 리 군(Lie group)은 주어진 벡터공간 위에 작용하는 선형사상의 연속군 $G$를 말한다. (더욱 추상적인 정의를 생각할수도 있지만 생략한다.) 이 때 $G$의 리 대수(Lie algebra) $\mathfrak{g} = \text{Lie}(G)$를 $G$의 항등원에서의 접평면으로 생각하면 이는 행렬과 동일시될 수 있고, 행렬 지수 연산에 의해 $A \in \mathfrak{g} \leftrightarrow e^{A} \in G$의 대응관계가 성립함도 보일 수 있다. [2]

이 때 $\mathfrak{g}$의 행렬 교환자는 $G$의 군 교환자의 미분이 된다. 엄밀하게는

$\displaystyle [A,B] = \frac{ \partial^2}{\partial t \partial s} [e^{tA}, e^{sB}]$

가 성립. 좌변의 교환자는 군론에서의 교환자이고, 우변의 교환자는 행렬의 교환자이다. 한편 $\mathfrak{g}$를 $G$에 불변인 1계 미분연산자들의 집합으로 생각하면, 미분기하학 관점의 두 연산자의 리 브라켓과 위의 행렬 교환자도 동일하다는 것도 보일 수 있다. 결국 이 배경에서 모든 교환자의 개념들이 대통합되는 것이다.

양자역학에서는 연산자를 행렬로 나타내는 것이 하이젠베르크 사고방식이고, 파동함수에 대한 미분연산자로 생각하는 것이 슈뢰딩거 방정식의 프레임이다. 따라서 행렬의 교환자, 미분연산자의 교환자로 각각 생각을 하면 된다. 물론 둘이 동치이므로 서로 이어질 수 있다.

수학의 교환자에 대한 다양한 사고방식을 오갈 수 있으면 물리학의 교환자에 대해서도 여러 고찰을 해볼 수 있다.
양자역학의 많은 경우에서 물리량에 대응되는 에르미트 연산자끼리 합성하면 별다른 의미가 없고, 교환자나 반교환자를 통해서만 물리량이 나오는 것을 많이 경험했을 것이다. 리 대수 관점에서 보면 이는 $\mathfrak{g}$가 행렬곱에 의해 닫혀 있지 않지만 리 브라켓에 대해서는 항상 닫혀 있는 것과 대응된다. 미분작용소 관점에서도 1계 미분작용소의 합성 자체는 2계까지 가야 설명이 가능한 것과 비슷하다.
한편 리군의 교환자 식에서 한 번만 미분을 하면 나오는 $e^{tA} B e^{-tA}$의 식은 $\mathfrak{g}$에 작용하는 $G$의 일종의 '좌표변환'(엄밀히 adjoint action이라 부르는)이라 생각해 볼 수 있고, 따라서 교환자는 '좌표변환의 미분'으로도 해석할 수 있다. 하이젠베르크 프레임을 생각하면 $[A,B]$를 연산자 $B$가 좌표변환 $e^{tA}$에 따라 미세하게 어떻게 변하는지를 보는 것.

리 대수의 관점에서는 $\mathfrak{g}$가 곱에 대해 닫혀 있지 않으므로 연산자의 곱을 생각할 수 없다. 따라서 교환자의 본질적인 성질은 사실 다음 둘로 요약된다.