t분포

독립적인 표준정규분포 $x$와 자유도가 $k$인 카이제곱분포 $\chi^2$에 대해[1] x/$\sqrt{y/k}$를 스튜던츠 t 분포(Student’s t-distribution) 또는 t분포라고 한다.

t-분포로 하는 검정(test)은 스튜던츠 t-검정(Student's t-test) 또는 t-검정(t-test)라고 부른다.

특이하게도 분포 이름이 학생(Student)인데, 이것은 이 분포를 처음 제안한 통계학자인 윌리엄 고셋(William Sealy Gosset)이 1908년에 해당 논문을 낼 때 가명으로 Student를 사용했기 때문이다.

윌리엄 고셋은 기네스 양조 공장에서 일하고 있었는데 적은 샘플에 대한 통계적 추정치가 잘 맞지 않은 점을 착안하여 t 분포를 제안하였다고 한다. 당시 기네스는 자사의 직원이 자사의 제품과 연관이 있는 연구 발표를 금지하고 있었다.

$Z\sim N(0,\,1)$이고 $U\sim\chi^2_v$이며 $Z$와 $U$가 독립일 때 t분포를 다음과 같이 정의한다.



평균은 $E(t)=0$이고 분산은 ${\rm Var}(t)=\dfrac{v}{v-2}\;(v>2)$이다. 표준정규분포와 평균은 같으나 $\dfrac{v}{v-2}>1$이므로 분산은 t분포가 더 크다. 만약 $v$의 값이 커지면 분산은 갈수록 작아져 1에 근접하며, 표준정규분포와 비슷한 분포를 이루게 된다.

$Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/{\sqrt n}}\sim N(0,\,1)$이고 $U=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$이면



곧, $t$분포는 표본평균 $\bar X$의 표준화 식에서 모표준편차 $\sigma$를 표본표준편차 $s$로 대체한 것이다.

만약 모표준편차를 안다면 표본평균을 표준화한 표준정규분포로 모평균을 추측하는 것이 더욱 정확하다. 그러나 일반적으로 모표준편차를 잘 알지 못한다. 왜냐하면 모평균을 정확히 모르는데 모표준편차는 안다는 것 자체도 이상하거니와 모집단 전부를 조사하기란 현실적으로 어렵기 때문이다. 따라서 모표준편차 대신 표본표준편차의 값을 이용한 $t$분포로 모평균을 추측하는 것이다.

매개변수: 자유도(실수값) ν > 0

독립 표본 t-검정은 두 개의 집단이 동일한 분산을 가진 경우(등분산, equal variance)와 두 개의 집단이 다른 분산을 가지고 있는 경우(이분산, unequal variance)가 있다.

독립 표본 t-검정은 두 반의 성적 평균 차이가 통계적으로 유의한 차이가 있나 등을 검증할 때 쓴다. F-검정으로 등분산인지 이분산인지 검증해봐서 F-검정의 p-값이 0.05보다 작으면 이분산, 크면 등분산이다. t-검정의 p-값이 0.05보다 작으면 두 반의 성적 차이는 통계적으로 유의미하게 차이가 난다는 의미이다.

SPSS를 활용하여(만만한게 spss)검정을 수행할 수 있다.

두 집단 간의 차이를 비교하는 독립 표본 t-test와는 달리, paired t-test는 같은 집단의 전후 차이를 비교한다. 특정 수업을 들은 전후의 성적 차이나, 약물 복용 후 효과 차이와 같은 것이 있을 수 있다. p-값이 0.05보다 작으면 수업 또는 약물이 효과가 있다는 의미이다.

z-분포와 t-분포에서 귀무 가설 H₀는 μ=0이나 μ₁=μ₂ 등이고, 대립 가설 H₁은 μ≠0나 μ₁≠μ₂같은 것이다. μ₁=μ₂처럼 변수가 2개인 경우 μ₁-μ₂=0으로 바꾸고 μ₁-μ₂를 d로 치환하면 d=0과 같은 변수가 하나인 식으로 바꿀 수 있다.