F-분포

f분포(F-distribution 또는 Snedecor's F-distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)는 통계학에서 사용하는 연속 확률 분포(continuous probability distribution)로 분산 분석에 많이 사용한다.

독립적인 두 카이제곱분포에 관한 비로써 정의된다. 자유도는 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도에 의해 결정된다. 분산 비 검정, 분산 분석, 회귀 분석 등에 사용한다.

F-분포로 하는 검정(test)을 F-검정(F-test)이라고 한다.

$U_1\sim\chi^2_{v_1},\,U_2\sim\chi^2_{v_2}$이고 $U_1$과 $U_2$가 독립일 때 f분포를 다음과 같이 정의한다.


$v_1$은 $U_1$(분자)의 자유도이고, $v_2$는 $U_2$(분모)의 자유도이다.

한편, $\Large{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}$는 $\Large X\sim{F_{v_1,\;v_2}}$에 대하여 $P[X\geq a]=\alpha$가 되도록 하는 $a$의 값을 일컫는다.

분산비검정(variance ratio test)이란 다음과 같이 두 분산을 비교할 때 사용하는 방법이다.

두 카이제곱분포 $U_1=\dfrac{(n_1-1){s_1}^2}{{\sigma_1}^2}\sim\large{\chi^2_{n_1-1}}$과 $U_1=\dfrac{(n_2-1){s_1}^2}{{\sigma_2}^2}\sim\large{\chi^2_{n_2-1}}$에 대하여

분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 $F$분포에 대하여 다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.

[증명]

두 $F$분포 $X\sim\Large{F_{v_1,\;v_2}}$이고 $Y=\dfrac1X\sim\Large{F_{v_2,\;v_1}}$이 있을 때

$\begin{aligned}{\color{red}\Large P\left[X\geq{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}\right]}&=\alpha\\\Large P\left[Y\geq{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha}}\right]&=1-\alpha\end{aligned}$

두 번째 식을 변형하면

$\begin{aligned}{\Large P\left[\dfrac1Y\leq\dfrac1{{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}\right]}&=1-\alpha\\\rightarrow{\color{red}{\Large P\left[\dfrac1Y\geq\dfrac1{{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}\right]}}&=\alpha\end{aligned}$

빨간색 식끼리는 값이 $\alpha$로 같으면서, $Y=\dfrac1X$이므로 결국 다음 양변이 같을 수밖에 없다.

$\Large{F_{v_1,\;v_2,\;\alpha}}=\dfrac1{\Large{F_{v_2,\;v_1,\;1-\alpha} }}$

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또한, $\boldsymbol t$분포를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, $\boldsymbol v$인 $\boldsymbol F$분포가 된다.

매개변수: 자유도 d₁ > 0, d₂ > 0