행렬표현

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목차
1. 개요2. 정의
2.1. 좌표2.2. 행렬표현
3. 예4. 선형대수학의 기본정리5. 기저변환행렬6. 행렬의 닮음

1. 개요 [편집]

선형변환의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 VV, WW의 차원이 유한할 때, 선형변환 T:V→WT: V \to W를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 T:V→VT: V \to V의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다.

2. 정의 [편집]

2.1. 좌표 [편집]

유한차원 벡터공간 VV와 기저 β={β1,⋯ ,βn}\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\}이 주어져 있을 때, 임의의 v∈Vv\in V에 대하여,
v=c1β1+⋯+cnβnv=c_{1}\beta_{1}+\cdots +c_{n}\beta_{n}
을 만족하는 스칼라 c1,⋯ ,cnc_{1},\cdots,c_{n}가 유일하게 존재하는데, 아래의 열벡터
[v]β=(c1⋮cn)[v]_{\beta}=\begin{pmatrix} c_{1}\\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix}
를 vv의 좌표라고 한다.

2.2. 행렬표현 [편집]

체 FF위의 두 유한차원 벡터공간 VV와 WW가 주어져 있고, 그 기저가 각각 βV\beta_V, βW\beta_W이라 하자. dimV=n\text{dim}V=n, dimW=m\text{dim}W=m일 때, 함수 L:[v]βV↦[T(v)]βWL:[v]_{\beta_{V}}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_{W}}은 FnF^{n}에서 FmF^{m}으로 가는 선형변환이다. 그러므로,
[T]βVβW[v]βV=[T(v)]βW[T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}} [v]_{\beta_{V}}=[ T(v) ]_{\beta_{W}}
를 만족하는 m×nm\times n행렬 [T]βVβW[T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}}가 존재하며 이를 선형변환 TT의 행렬표현이라고 한다. TT의 정의역과 공역이 같을 때, [T]β[T]_{\beta}는 [T]ββ[T]_{\beta}^{\beta}를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 [T][T]라고 쓴다.

3. 예 [편집]

실수체 R\mathbb{R} 위의 nn차 이하의 다항식 집합 Pn(R)\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R})에 주어진 선형변환 D:∑i=0naixi↦∑i=0niaixi−1D : \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \mapsto \sum_{i=0}^{n} i a_{i} x^{i-1}을 미분연산자라 한다. DD의 순서기저 β={1,x,⋯ ,xn}\beta=\{1,x,\cdots,x^{n}\}에 대한 행렬표현은
[D]β=(010⋯00002⋯00000⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯0n000⋯00)[D]_{\beta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0& 0 & \cdots & 0& n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0& 0 \end{pmatrix}
이다.

4. 선형대수학의 기본정리 [편집]

체 FF위의 nn차원 벡터공간 VV와 mm차원 벡터공간 WW에 대하여, VV에서 WW로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 L(V,W)\mathfrak{L}(V,W)이라 하자. 또한, 성분이 FF의 원소인 m×nm\times n 행렬을 모은 집합을 Mm,n(F)\mathfrak{M}_{m,n}(F)이라 하자. VV와 WW의 기저 βV\beta_{V}와 βW\beta_{W}가 주어졌을 때, 함수 f:T↦[T]βVβWf:T\mapsto [T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}}는 L(V,W)\mathfrak{L}(V,W)에서 Mm,n(F)\mathfrak{M}_{m,n}(F)으로 가는 동형사상[1]이다. 즉, L(V,W)\mathfrak{L}(V,W)와 Mm,n(F)\mathfrak{M}_{m,n}(F)의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 선형대수학의 기본정리라고 한다.

5. 기저변환행렬 [편집]

nn차원 벡터공간 VV의 임의의 두 기저 β={β1,⋯ ,βn}\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\}과 β′={β1′,⋯ ,βn′}\beta^{\prime}=\{\beta_{1}^{\prime},\cdots,\beta_{n}^{\prime}\}에 대하여, 행렬 PP를
P=([β1]β′[β2]β′⋯[βn]β′) P=\begin{pmatrix} [\beta_{1}]_{\beta^{\prime}} & [\beta_{2}]_{\beta^{\prime}} & \cdots&[\beta_{n}]_{\beta^{\prime}}\end{pmatrix}
라 정의했을 때, P[v]β=[v]β′P[v]_{\beta}=[v]_{\beta^{\prime}}이 성립한다. 즉, 선형변환 Y=PXY=PX는 vv의 β\beta에 대한 좌표를 β′\beta^\prime에 대한 좌표로 바꿔주는 선형변환으로 이해할 수 있다. 이러한 행렬 PP를 기저변환행렬, 좌표변환행렬 또는 추이행렬 등으로 부른다. 또한 기저변환행렬은 항등변환 II의 행렬표현 [I]ββ′[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}이다.

6. 행렬의 닮음 [편집]

두 정사각행렬 AA, BB에 대하여, P−1AP=BP^{-1}AP=B를 만족하는 가역행렬 PP가 존재하면 두 행렬이 닮았다고 한다. nn차 정사각행렬 AA에 대하여 선형변환 LA:Fn→FnL_{A}:F^{n}\to F^{n}을
LA(X)=AXL_{A}(X)=AX
라고 하자. 그러면, FnF^{n}의 표준순서기저에 대한 좌표를 임의의 기저 β\beta에 대한 좌표로 바꾸는 기저변환행렬 PP가 존재하여, 임의의 X∈FnX \in F^{n}에 대해
P−1[LA]βPX=AXP^{-1}[L_{A}]_{\beta}PX=AX
를 만족함을 알 수 있다. 즉, P−1[LA]βP=AP^{-1}[L_{A}]_{\beta}P=A가 성립한다. 또한, 닮은 행렬이란 어떤 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현임을 알 수 있다. 이를 이용하여, 행렬에 정의되는 여러 대상들이 닮음불변량인 경우, 선형변환에 그대로 정의할 수 있다. 예를들어 선형변환의 대각합이란
trT=tr[T]β\text{tr}T=\text{tr}[T]_{\beta}
으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하여도 문제되지 않는 이유는, 대각합이 닮음불변량이기 때문에, 서로 다른 기저에 대한 TT의 행렬표현이 같은 대각합을 갖기 때문이다.
[1] 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 FF-module isomorphism이며, V=WV=W일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 FF-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.

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