행동치

크기가 같은 두 행렬 $A$와 $B$가 서로 행동치(row equivalent)라는 것은 $A$의 모든 행을 $B$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로 $B$의 모든 행을 $A$의 행의 선형결합으로 나타낼수 있다는것이다. 이름에서부터 알수있다시피, 행동치는 동치관계이며, 행동치인 행렬은 행공간(row space), 영공간(null space), 계수(rank)가 같다.[1] 또한 두 연립방정식의 첨가행렬이 행동치일 경우 해집합이 같다.

체 $F$와 그 위의 벡터공간 $V$에 대하여, $v_{1},\cdots,v_{n}\in V$가 주어져 있을 때, 임의의 스칼라 $c_{1},\cdots,c_{n}\in F$에 대하여

를 $v_{1},\cdots,v_{n}\in V$의 선형결합이라 한다.

$m\times n$ 행렬 $A$와 $B$가 행동치라는 것은, $A$의 각 행을 $B$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로 $B$의 각 행도 $A$의 선형결합으로 나타낼수 있다는것이다.

동치 관계 $\sim$란 다음의 세 성질을 만족하는 관계이다.

행동치에 대해서, 1.(반사)와 2.(대칭)은 자명하게 성립한다. 3.(추이)를 보이기 위해 $A,B,C$의 각 $i$행을 $A_{i},B_{i},C_{i}$라고 하자 $A$의 각 행이 $B$의 각 행의 선형결합이고, $B$의 각 행이 $C$의 선형결합이라 한다면,

라고 적을 수 있다. 따라서,

가 성립하여, $A$의 각 행이 $C$의 행의 선형결합으로 나타내어진다. 반대의 경우도 같은 방법으로 보일 수 있다.

행렬 $A$와 기본행연산을 한번적용한 행렬 $EA$를 생각하자. $A_{i}$를 $A_{i}$의 $i$행이라고 할 때, 기본행연산을 한번 했을때 바뀌는 행은 다음과 같다.

즉, 바뀐 행렬 $EA$의 바뀐 행들은 $A$의 행의 선형결합임을 알수있다. 안바뀐 행은 자명하게 $A$의 행의 선형결합이므로 $EA$의 모든 행을 $A$의 선형결합으로 나타낼수 있다는것을 알 수 있다. 거꾸로, $A$의 각 행이 $EA$의 선형결합임을 어떻게 알수있을까? 그것은, 기본행렬$E$가 가역행렬이고, $E$의 역행렬도 기본행렬이라는것 때문이다. 즉, $A=E^{-1}(EA)$이고, $A$는 $EA$에 기본행연산 $E^{-1}$를 적용한것으로 이해할수있다. 동치관계의 추이성과 반사성에 의해 기본행연산을 유한번 적용해도 여전히 행동치이다.

임의의 행렬 $A$에 대해 가우스-조르당 소거법을 이용하여 행동치인 기약행사다리꼴을 찾을 수 있다. 그런 기약행사다리꼴을 $R_{A}$라고 하자. 그러면, 유한개의 기본행렬 $E_{1},\cdots,E_{n}$에 대하여

라고 표현할 수 있다. 마찬가지로, $B$의 경우도,

를 만족하는 기본행렬 $E^{\prime}_{1},\cdots, E^{\prime}_{n}$이 존재한다. 여기서, $R_{A}$와 $R_{B}$가 같다면,

가 되므로, $A$와 $B$가 행동치임을 알 수있다. 행동치는 동치관계이므로, $R_{A}$와 $R_{B}$가 다르다면, $A$와 $B$도 행동치가 아님을 알수있다.[2] 즉, 어떤 두 행렬이 행동치일 필요충분조건은 각자의 행동치인 기약행사다리꼴이 서로 같다는것이다. 즉, 기약행사다리꼴이란, 행동치인 행렬 중에서 대표가 되는 행렬 정도로 이해할수 있다.

행공간이란 $m\times n$행렬 $A$의 행벡터가 생성하는 $F^{m}$의 부분공간을 뜻한다. 즉, $A$의 행공간의 임의의 벡터는, $A$의 각 행의 선형결합으로 표현된다. 그런데, $A$와 $B$가 행동치라면, $B$의 모든 행이 $A$의 행의 선형결합이므로, $B$의 행공간의 임의의 원소는 $A$의 행의 선형결합으로 표현된다. 마찬가지로, $A$의 행공간의 임의의 원소도 $B$의 행의 선형결합으로 표현된다. 즉, 행동치인 두 행렬 $A$와 $B$는 행공간이 서로 같다. 역으로, 크기가 같은 두 행렬이 행공간이 같다면, 행동치라는것은 꽤나 자명한 명제이다.

미지수 n-tuple $x$에 대한 연립방정식 $L$을

라고 할 때, $l : c_{1}f_{1}(x)+\cdots+c_{m}f_{m}(x)=c_{1}y_{1}+\cdots+c_{m}y_{m}$꼴의 방정식을 연립방정식 $L$의 선형결합이라고 한다. $x_{0}$이 $L$의 해 일 경우, $x_{0}$을 $l$에 대입하면 식을 만족한다. 따라서 연립방정식 $L_{2}$를 구성하는 모든 개별 방정식이 연립방정식 $L_{1}$의 선형결합이라면, $L_{1}$의 모든 해는 $L_{2}$의 해가 됨을 알수있다. 반대로, $L_{1}$을 구성하는 모든 개별방정식도 $L_{2}$의 선형결합이라면, $L_{2}$의 모든 해가 $L_{1}$의 해가되어, 두 연립방정식의 해가 같다고 이야기할 수 있다. 이렇듯, 두 연립방정식이 각각 상대의 개별방정식의 선형결합으로 나타내어지는 경우를 연립방정식의 동치라고 한다.

일차연립방정식을 계수행렬(coefficient matrix)과 첨가행렬(augmented matrix)로 바꾼다면, 방정식에 대한 이야기를 선형대수학의 언어로 풀 수 있다.

일차연립방정식의 상수항이 0인경우 제차 연립방정식(homogeneous system of linear equations)이라고 한다. 이 경우에는, 첨가행렬의 마지막 열은 0이므로, 계수행렬만 생각하여도 충분하다. 계수행렬의 각 행이 의미하는것은 연립방정식을 구성하는 개별방정식이므로, 두 $m\times n$행렬 $A,B$에 대하여 $L_{1}:AX=O$와 $L_{2}:BX=O$가 연립방정식으로써 동치라면, $A$의 각 행은 $B$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로, $B$의 각 행도 $A$의 선형결합으로 나타낼 수 있을것이다. 즉, $A$와 $B$가 행렬로써 행동치라는것이다. 반대로, $A$와 $B$가 행동치라면, 연립방정식 $L_{1}:AX=O$와 $L_{2}:BX=O$는 연립방정식으로써 동치가 된다. 즉, 계수행렬이 행동치인 경우 해공간[3]이 같다는 것이다. 반대로, 크기가 같은 두행렬 $A,B$에 대해 두 연립방정식 $L_{1}:AX=O$와 $L_{2}:BX=O$의 해공간이 같다면, 두 행렬은 행동치라고 할 수 있을까? 직관적으로 참인것 같아 보이는[4] 이 명제를 증명하기 위해서는 쌍대공간[5]에 대한 이해가 필요하다.[6] 연립방정식의 해공간이 주어져 있다면, $F^{n}$의 부분공간이므로, 기저 $\{b_{1},\cdots,b_{r}\}$이 존재하고, 기저확장정리에 의해, $\mathcal{B}=\{b_{1},\cdots,b_{r},b_{r+1},\cdots,b_{n}\}$이 $F^{n}$의 기저가 되는 $\{b_{r+1},\cdots,b_{n}\}$을 찾을 수 있다. 그 후 쌍대기저$\mathcal{B}^{*}=\{L_{i}|L_{i}(b_{j})=\delta_{i,j}\}$[7]를 구할 수 있고, 계수행렬의 행공간과

이 같아야 함을 알수있다. 행공간이 같으면 행동치이므로, 해공간이 같은 두 연립방정식의 계수행렬은 크기가 같다면 행동치이다.