변화량

변화량이라는 개념은 여러 학문에서 존재한다.

변화율은 증분과 같은 뜻으로 미적분학에서 쓰이는 용어다. 다른 학문에서는 변화분 등의 다른 이름으로 칭해지기도 한다. 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다.

예를 들어 함수 $y=x^{2}$에서 $x$의 값이 $1$부터 $3$까지 변하면 $y$의 값은 $1$부터 $9$까지 변화한다. 이때 독립변수 $x$의 변화량은 $2$이며, 이를 $\boldsymbol{x}$의 증분이라 하고 그리스 문자 $\Delta$(델타, Delta)를 사용하여 $\Delta x$로 나타낸다.[1] 마찬가지로 종속변수 $y$의 변화량인 $8$을 $\Delta x$에 대한 $\boldsymbol{y}$의 증분이라 하고, $\Delta y$로 나타낸다.

파일:미분_평균변화량.png
어떤 함수 $f(x)$의 그래프가 있다고 할 때, $x$축 위의 두 실수 $a$와 $b$ ($a<b$)를 생각해 보자. 이제 $f(x)$ 위에 위 사진과 같이 두 점 $\mathrm{A}(a,\,f(a))$, 점 $\mathrm{B}(b,\,f(b))$를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 $\mathrm{A}$부터 $\mathrm{B}$까지의 ($x$의 증가량) 분의 ($y$의 증가량), 즉

는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 $x$의 증가량을 $\Delta x$, $y$의 증가량을 $\Delta y$라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 $\Delta$를 붙여주자.

미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.

$y$의 증분 $\Delta y$를 $x$의 증분 $\Delta x$로 나눈 $\displaystyle{{\Delta y / \Delta x}=4}$를 닫힌 구간 $[1,\,3]$에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 $y=x^{2}$ 위의 두 점 $(1,\,1)$, $(3,\,9)$를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.

이 때 평균변화율은 두 점 $(a,\,f(a))$, $(a+\Delta x,\,f(a+\Delta x))$을 잇는 직선의 기울기와 같다.

만약 $x$의 증분의 절댓값인 $|\Delta x|$를 아주 작게 하면, 즉 $\Delta x\to 0$일 때, 평균변화율 $\displaystyle {\Delta y}/{\Delta x}$의 극한값을 생각할 수 있다. 이를 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 순간변화율이라 한다.

이를 기호

등으로 나타낸다. 어떤 점에서의 순간변화율은 그 점에서의 접선의 기울기와 같다.

미적분을 처음 접하면 순간변화율이라는 이름부터 알려주지만 본격적으로 미분을 시도할 때 미분 계수(differential coefficient)라는 이름이 더욱 자주 쓰인다. 미분을 할 때에는 식의 최고차항의 계수가 중요하게 여겨지기 때문이다. 어떻게 한 점에서의 기울기, 그러니까 미분계수를 구하느냐에 관한 것이 위 개념, 미분의 기초라고 보면 된다.

이제 미분계수를 구해보자. 아까의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$을 지나는 직선에서 $x$의 증가량인 $\Delta x$가 $0$으로 가까워지면, 함수 $f$가 연속이라는 가정 하에 자연스럽게 점 $\mathrm{B}$가 점 $A$로 다가가며[2] 직선이 짧아질 것이고, 이 $\Delta x$가 $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}$이 붙어 $0$은 아니지만 $0$으로 한없이 다가가게 된다면 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$ 사이의 거리가 똑같이 $0$은 아니지만 $0$으로 한없이 가까워져, 즉 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 동일한 것은 아니지만 한없이 가까워져 평균변화율을 구하던 식이 한 지점의 순간변화율을 구하는 식이 되기 때문이다.

순수 수학에서는 크게 중요하지 않지만, 과학 계통에서는 미분 계수의 $\mathrm{d}$를 이탤릭체 $d$가 아니라 로만체 $\mathrm{d}$로 사용하는 것이 좋다. 이탤릭체는 변수나 문자를 의미하는데, $d$는 두께나 거리 등을 나타내는 문자로 사용하기 때문에 헷갈릴 수 있기 때문이다. $dx$가 $x$의 미분계수인지, 거리 $d$와 변수 $x$의 곱인지 알 수 없기 때문이다.

경제학 등에서 다른 단어와 합성되어 그 요소의 변화량을 가리킨다.