증감표

함수의 증가와 감소를 나타낸 표로 특정한 함수의 그래프의 개형을 파악하기 위하여 함수의 증가와 감소, 변곡점(위로 볼록에서 아래로 볼록 또는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하는 지점)을 나타낸 표다.

보통 왼쪽에서 첫 번째 열에는 위에서부터 차례로 $x$, $f'(x)$, $f''(x)$, $f(x)$를 쓰며[1], 그 오른쪽의 경우 첫 번째 행에는 $x$의 값을, 두 번째 행에는 $f'(x)$의 값($f'(x)>0$일 경우 $+$, $f'(x)<0$일 경우 $-$, $f'(x)=0$일 경우 $0$으로 표기), 세 번째 행에는 $f''(x)$($f''(x)<0$일 경우 $+$, $f''(x)>0$일 경우 $-$, $f''(x)=0$일 경우 $0$으로 표기), 마지막 네 번째 행에는 $f(x)$의 증가와 감소를 보통 화살표로 표시한다. 이때, $f'(x)$ 또는 $f''(x)$의 값이 $0$이 되는 $x$의 값을 나열하는 것이 보통이다. 단, 변곡점(함수의 오목, 볼록)을 구할 필요가 없을 때에는 $f''(x)$를 생략하여 나타낸다.

$f(x)=2x^3-9x^2+12x$

위 함수를 예로 들어 보자.

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$

이 함수의 도함수는 위와 같다. 이때 $f'(x)=0$의 해는 $x=1$, $x=2$이다.

$f''(x)=12x-18$

또, $f(x)$의 이계도함수는 위와 같다.

그러므로 $f''(x)=0$의 해는 $x=\dfrac 3 2$이다.

이 값들을 이용해 위와 같은 표를 그려 $f(x)$의 그래프의 개형을 알 수 있다.

같은 방법으로 소수 계량 함수 $\pi(x)$, 이를 근사하기 위해 사용하는 함수인 $\dfrac{x}{\ln x}$, $\mathrm{li}(x)$의 예를 들면 아래와 같다.

1 부근에서는 셋 다 다른 개형을 보이지만, $x$의 값이 커질수록 $\dfrac{x}{\ln x}$와 $\mathrm{li}(x)$의 개형이 $\pi(x)$와 비슷해지는 것을 알 수 있다.[2]

각 용도에 대하여 위 '예시' 의 함수를 대상으로 문제를 해결해 본다.

미분을 배운 학생이라면 익히 알고 있을 것이다. $f(x)$의 도함수 $f'(x)$의 부호가 양일 때 증가하고, 음일 때 감소하고, $0$일 때 극값을 가질 수 있다는 것을. 위 예시에는 $f'(x) \ge 0$인 $x$의 범위는 $x \le 1$, $x \ge 2$이고, $f'(x) \le 0$인 $x$의 범위는 $1 \le x \le 2$이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $x \ge 1$, $x \le 2$일 때 증가하고, $1 \le x \le 2$일 때 감소한다는 사실을 알 수 있다.
잘 생각해 보면, 증가와 감소만을 조사할 때는 증감표 없이도 $f'(x)=0$이 되는 $x$와 $f'(x)$가 $0$보다 큰지 작은지만을 이용하여 증가인지 감소인지 판단할 수 있다. 그러나 극값을 구할 때는 $f'(x)=0$인 $x$를 $a$라 할 때, $a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 변해야지만 극값이므로[3], 증감표를 그리는 것을 추천한다.

예시의 두번째 표에서처럼 그래프의 개형 그 자체를 분석하는 데 쓰이기도 한다.

여기서는 이계도함수를 이용해야 한다. 위 표에서는 $f''(x)>0$, 즉 아래로 볼록인 $x$의 범위는 $x>\frac 3 2$, $f''(x)<0$, 즉 위로 볼록인 $x$의 범위는 $x<\frac 3 2$이다. $f''(x)=0$인 $x$는 $x=\frac 3 2$인데, $x=\frac 3 2$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 음에서 양으로 변하므로 $x=\frac 3 2$인 점, 즉 점$\left ( \frac 3 2, \frac 9 2 \right )$는 $f(x)$의 변곡점이다.
이때 $f(x)$의 증가, 감소, 극대, 극소 판단과 마찬가지로 오목, 볼록만을 판단할 때는 $f''(x)$가 $0$보다 큰지, 작은지, $0$인지만 확인하면 되므로 증감표가 필요 없다. 그러나 변곡점을 찾을 때는 $f''(x)=0$인 점의 좌우를 확인해야 하므로 증감표를 그리는 것을 추천한다.

증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하여 그래프를 그릴 수 있는 경우 증감표가 필요 없지만, 그 외에 극대, 극소, 변곡점을 찾아야 할 때는 증감표가 필요하다. 일반적으로 후자의 경우에 해당하므로, 함수의 그래프를 그릴 때 대부분 증감표를 활용한다.

함수 $f(x)=x/(x^{2}+1)$의 증감표 (a)를 작성하여 그래프의 개형 (b)를 그려보면 아래와 같다.

파일:namu_증감표_그래프예시.png

증감표 그리기가 원래 필요 없다고 여겨지는 증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하는 경우라도 함수가 복잡하거나(?)해서 그래프 그리기가 혼란스러울 때는 증감표를 그려서 개형을 추측해 보는 것을 추천한다.

이런 케이스에 속하는 함수로 감마 함수[4], 에어리 함수[5], 프레넬 적분 함수[6] 같은 것들이 있다.

일반적으로 연속함수의 최대, 최솟값을 구할 때는 주어진 범위의 경계점, $f(x)$의 극대, 극솟값 중 $f(x)$의 값이 가장 큰 것이 최대, 가장 작은 것이 최소이다. 예를 들어, 위 경우에서는 극대는 $f(1)=5$, 극소는 $f(2)=4$이다. $0 \le x \le 3$인 $x$에 대해서는 $f(0)=0$, $f(3)=9$이므로 $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ 중 최댓값은 $f(3)=9$, 최솟값은 $f(0)=0$이다.
최대, 최솟값을 구할 때는 극대, 극솟값을 먼저 구해야 하기 때문에 증감표가 필요하다고 생각할 수 있다. 그러나 함수가 어떤 구간에서 미분가능한 경우 해당 구간에서 극대, 극솟값은 $f'(x)=0$이라는 성질을 가지고 있으므로[7][8] $f'(x)=0$인 점을 모조리 찾아내고 주어진 범위의 경계점에서의 $f(x)$의 값을 조사하여 가장 큰 값이 최대, 가장 작은 값이 최소이다. 이렇게 하면 증감표가 필요 없다.

예시로 든 함수 $f(x)=2x^3-9x^2+12x$에 대하여 $f(x)=0$의 근의 개수를 구해 보자. $f(x)$가 점 $(1, 5)$에서 극대, 점 $(2, 4)$에서 극소이므로, $x<1$인 어떤 $x$에 대해서 $f(x)=0$인 $x$가 1개 존재한다. 따라서 방정식의 실근의 개수는 1개이다. 함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수를 구하려면 $f(x)$의 극대, 극솟값을 모두 조사한 후 그것을 바탕으로 $f(x)=0$인 $x$의 개수를 추론해야 한다. 이때 단지 $f'(x)=0$인 $x$만을 구하려다가는 큰코 다친다.(극대, 극소인지 아니면 $f'(x)$의 부호가 변하지 않아서 아무것도 아닌지 알 길이 없다) 따라서 증감표를 그리는 것을 추천한다.