제곱근행렬

수학 관련 정보

1. 개요2. 여담

Square root matrix

1. 개요 [편집]

수의 제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 제곱근이 되는 행렬이 엄청나게 많다[1]. 2×2 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 이를 기준으로 삼을 수 있다.

\displaystyle \sqrt{\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}} = {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad a \\ a \quad -b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad -a \\ -a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad a \\ a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad -a \\ -a \quad -b \end{bmatrix}}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad -1 \\ -1 \quad 0 \end{bmatrix}

여기서

a, b, h

는

a^{2} + b^{2} = h^{2}

를 만족하는 자연수이다.

단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.

2. 여담 [편집]

Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.

[1]

A^{2} = B

라면

A

와 상사인 임의의 행렬

C

에 대해

C^{2} = B

이다. 물론

{\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \end{bmatrix}}

같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.