자유 낙하

free fall · 自由落下

정지해 있던 물체가 지표면을 향해 가속운동하는 것을 이른다.

운동을 분석하기 앞서 $\dot{y}$, $\ddot{y}$는 각각 지면에 대한 높이 $y$의 시간에 대한 도함수(속도) ${\rm d}y/{\rm d}t$, 이계도함수(가속도) ${\rm d^{2}}y/{\rm d^{2}}t$임을 밝힌다.

질량 $m$의 물체가 지면으로부터 $H$의 높이에서 자유낙하를 했다고 생각해보자. 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않는다. 따라서 물체의 운동 방정식은

이고, 초기 조건 $y(0)=H$, $\dot{y}(0)=0$을 이용하면

한편, 물체의 높이가 $y$일 때까지 낙하 시간을 구하면,

이때 속력을 구해보면, 아래와 같다.


위에서 언급했듯 공기 저항을 무시할 경우 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않으므로 역학적 에너지 또한 보존된다. 따라서 초기 역학적 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지인 $mgH$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

진공에서의 물체의 가속 운동은 방해, 정확히 말하면 저항력을 받지 않아 정지 속도가 없지만, 실제 지구상에서의 낙하는 공기의 저항을 받게 된다.

사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화시킨 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.

저항력이 속도에 비례하여 질량 $m$의 물체가 물체가 지면으로부터 $H$의 높이에서 자유 낙하했을 때, 저항력 $-k\dot{y}$(단, $k$는 공기 저항 계수)를 받는다고 해보자. 이때 물체의 운동 방정식은

초기 조건 $y(0)=H$, $\dot{y}(0)=0$임을 이용하면, 위의 미분방정식은 쉽게 풀리고, $k/m := \beta$라 놓으면,

으로 구해진다.

위의 식에서 알 수 있듯 $t \to \infty$이면 일정한 속력 $g/\beta=mg/k$로 수렴하는데 이 속력을 종단 속력(terminal speed)이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 종단 속력의 물리적 의미를 검토해보고자 이 속력을 저항력에 대입하면, $k \dot{y}=mg$로 중력의 크기와 같아지는데 곧 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력임을 알 수 있다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 $200\,{\rm km/h}$ 근처이다.[1]

이번 문단에서는 제곱형 공기 저항이 작용하는 경우를 살펴보도록 하자. 물체의 운동 방정식은 윗문단과 유사하게

단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 $+$가 되어야 함에 유의한다.[2] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 $\dot{y}$에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.

변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면

변위 함수는 적분을 통하여 아래와 같음을 알 수 있다.


이 결과에서도 종단 속력에 대하여 논할 수 있으며, $\dot{y}$로부터 $t \to \infty$일 때, 일정한 속력 $\sqrt{g/\beta}=\sqrt{mg/k}$로 접근함과 이 종단 속력은 질량의 제곱근에 비례함을 알 수 있다. 더욱이 이 속력을 $k\dot{y}^{2}$에 대입하면, 곧 중력의 크기와 같음을 알 수 있다.