보존력

1. 개요2. 상세

2.1. 보존력의 조건2.2. 보존장의 에너지 보존2.3. 심화: 비보존력이 한 일

3. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Conservative force

어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라고 정의한다.

수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다.

물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[1] 역학적 에너지는 보존된다.

일반적으로 중력, 탄성력, 전기력 등이 알려져 있으며, 윗 문단의 두 조건만 만족하면, 보존력이 된다.

비보존력의 가장 일반적인 예시는 마찰력 등이 있다.

2. 상세 [편집]

2.1. 보존력의 조건 [편집]

보존력

\mathbf{F}

의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지

U

와 다음과 같은 관계에 있다.

\displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U

이 사실을 이용하면, 점

\mathbf{1}

에서 점

\mathbf{2}

로 이동했을 때, 보존력이 한 일

W

을 구할 수 있다.

\displaystyle W=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} (-\boldsymbol{\nabla}U) \cdot d \mathbf{r}

이때,

\displaystyle \boldsymbol{\nabla}U \cdot d \mathbf{r}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}dx_{i}=dU

가 성립한다. 이상에서

\displaystyle W=-\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} dU=-(U_{\mathbf{2}}-U_{\mathbf{1}})

따라서 다음을 얻는다.

\displaystyle W=- \mathit{\Delta}U

즉, 보존력이 한 일은 퍼턴셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다는 것을 얻는다.

윗 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태 즉, 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은

0

이 돼야 한다. 즉,

\displaystyle \oint \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0

스토크스 정리를 사용하면,

\displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{a}=0

가 되므로, 여기서 보존력이 만족해야할 조건이 나온다.

\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0

이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다.

어떤 퍼텐셜의 음의 그레이디언트를 취하면, 해당 힘으로 환원돼야 한다: $\displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U$
힘에 회전 연산을 가하면, $0$ 이 돼야한다: $\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0$

2.2. 보존장의 에너지 보존 [편집]

보존력이 작용하여 미치는 공간을 보존장(Conservative field)이라 한다. 보존장에서 총 에너지는 보존되는 지를 증명해보자.

물체가 갖는 총 에너지

E

는 운동 에너지

T

와 퍼텐셜 에너지

U

의 합이다. 즉,

\displaystyle E=T+U

으로 쓸 수 있다. 따라서

\displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}(T+U)= \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt}

로 쓸 수 있다. 이때, 운동 에너지 문서에서

\displaystyle \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=dT

로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서

\displaystyle \frac{dT}{dt}=\mathbf{F} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}

이 된다.

퍼텐셜이 위치와 시간을 의존하는 함수 즉,

U(\mathbf{r},\, t)

로 주어진다면,

\displaystyle \frac{dU}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=\boldsymbol{\nabla}U \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}

가 된다.

따라서, 본래의 식에서

\displaystyle \frac{dE}{dt} = (\mathbf{F}+\boldsymbol{\nabla}U) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t}

이때,

\mathbf{F}

는 보존력이므로

\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U

를 만족하므로

\displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t}

가 나오게 된다.

그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은

0

이 됨에 따라

\displaystyle \frac{dE}{dt} =0

따라서 보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다는 사실을 알 수 있다. 또한, 이것을 중등교육 수준으로 역학적 에너지 보존 법칙이라 한다.

해밀턴 역학으로 가면 이 보존력은 곧 해밀토니안

\mathcal H

이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은

\displaystyle \mathcal{H}=T+U

로 바꿔 쓸 수 있다.

2.3. 심화: 비보존력이 한 일 [편집]

물체가 두 지점을 이동할 때, 일-운동에너지 정리에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을

W_{T}

라 놓으면,

\displaystyle W_{T}=\Delta T

로 쓸 수 있다. 여기서

T

는 운동 에너지이다. 한편,

\displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C}

로 나눌 수 있는데,

W_{N}

,

W_{C}

는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라

W_{C}=-\Delta U

로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면,

\displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta U+\Delta T \end{aligned}

이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면,

\displaystyle \begin{aligned} \Delta U+\Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \\ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\\&=E_{2}-E_{1}\\&=\Delta E \end{aligned}

이상에서

\displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta E \end{aligned}

즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같음을 알 수 있는데 이는 비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음을 시사한다.

3. 관련 문서 [편집]

[1] 즉, 비보존력이 일을 하지 않으면