자유군

free group · 自由群

자유군은 주어진 문자(alphabet)들의 집합[1]으로부터 정의되는 가장 자연스러운 군의 구조이다. 이는 조건을 최소한으로 만족하는 군으로, 이름의 자유(free)는 이런 성질에서 기인한다.

비어 있지 않은 집합 $S$에 대하여, $S$의 원소들을 나열한 단어(word)라는 개념을 생각할 수 있다. 예를 들어 $S = \{ a, b, c \}$라면, $abac$, $abb$, $cabbca$, $aaaaaa$ 등이 모두 단어이며 그 개수는 무수히 많다.[2] 물론 우리는 곱셈군의 구조를 생각할 것이므로, 위 단어들을 각각 $abac$, $ab^2$, $cab^2ca$, $a^6$ 등으로 적을 수 있다. 이제 이 단어들의 집합을 군으로 이해하려 한다. 군을 구성하기 위해서는 '연산'이 필요한데, 이 단어들의 모임에서 가장 자연스러운 연산은 이어 쓰기(juxtaposition)가 될 것이다. 예를 들어

가 되며, 이어 쓰기가 결합법칙을 만족한다는 사실은 자명하다. 이제 이 단어들의 모임이 온전한 군이 되려면 항등원과 역원을 갖추어야 한다.

우선 항등원의 경우, 연산의 정의를 생각해 볼 때 비어있는 단어(empty word)가 가장 적절해 보인다. 혼동을 방지하기 위해, 비어있는 단어를 $1$로 표시하고[3] 이 군의 항등원으로 정의한다. 실제로,

등이 성립하므로 항등원으로 놓는 것에 문제가 없다.

이제 마지막으로 역원이 필요하다. 그런데 우리의 이어 쓰기 연산은 단어의 길이가 늘어날 뿐, 줄어들지 않는데 이 때문에 문제가 생긴다. 항등원이 비어있는 단어 $1$이므로, 예를 들어 $cabbca$에 어떤 단어를 곱해도 $1$이 되지 않는 것. 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 집합을 생각한다.

단, 우리가 처음 생각한 집합 $S$가 군이 아니었기 때문에 $x^{-1}$와 같은 표현은 그 의미가 명확하지는 않다. 이제 이런 표현들을 단순히 형식적 기호(formal symbol)로 이해하고, 이를 1글자 단어로 포함시킨 후 연산 규칙 $x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1}$을 부여한다. 그렇다면

이므로 $a^{-1}c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1}$이 $cabbca$의 역원임을 알 수 있다. 또 $ab^{-1}a^2c$같은 단어의 역원이 $c^{-1}a^{-2}ba^{-1}$이 되므로 이런 확장은 문제를 일으키지 않는다.

이제 군의 연산, 항등원, 역원 등이 다 깔끔하게 정의되었지만 한 가지 문제가 남았다. 우리가 군의 개념을 완성하기 위해서 역원에 해당하는 형식적인 기호를 도입했고, 여기서 두 기호 사이의 관계가 정의되었다. 최소한의 조건만을 갖춘 군을 만들려 했지만 그 정의 때문에 조건이 아예 없는 군은 불가능했고, 연산 관계 $x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1}$를 갖추어야만 한다는 것.[4] 그렇기 때문에

와 같이, 그 표현이 다름에도 정의상 같은 단어들이 생긴다. 그래서 축약된 단어(reduced word)라는 개념 도입이 필요하다. 그 표현에서 알 수 있듯이, 축약 규칙 $x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1}$를 적용하여 단어의 길이를 가장 짧게 만든 것이 축약된 단어이다. 예를 들어, $abc^{-2}aa^{-1}c^2$와 같은 단어의 축약된 단어는 $ab$이다. 이런 축약된 단어는 각 단어마다 유일하게 결정되고, 축약된 단어들끼리의 연산(즉, 이어 쓰기 후 축약하기) 또한 유일하게 정해진다.

최종적으로, 우리는 집합 $S$에 정의된 자유군(free group) $(\mathcal F_S,\ \cdot \ )$을 정의했다. 군의 원소들은 형식적 기호 집합 $S \cup S^{-1}$의 축약된 단어들의 모임이며, 연산은 이어 쓰기 후 축약하기가 된다. 이는 군으로서 갖춰야 할 최소 조건(결합법칙, 항등원, 역원)만을 가진 군이다. 이에 빗대어 볼 때 이름의 자유(free)는 '연산으로부터 자유롭다(free form relation)'는 의미라고 볼 수 있다.

자유군 $(\mathcal F_S,\ \cdot \ )$을 만드는 데에 쓰인 집합 $S$를 생성집합(generating set), $S$의 원소들을 생성원(generator)이라 부른다. 또, $\lvert S \rvert = n$인 경우 $\mathcal F_S$ 대신 $\mathcal F_n$의 표현도 사용한다.[5] 단순히 어떤 군 $G$가 군으로서 자유(free as a group)이라고 말하는 경우도 있는데, 이는 $G$가 어떤 자유군과 동형이라는 것을 의미한다. '자유군의 부분군은 항상 자유이다[6]' 같은 식으로 쓴다.

위 문단에서는 집합 $S$로부터 자연스럽게 자유군 $(\mathcal F_S,\ \cdot \ )$를 얻었다. 하지만 이는 자유군의 이해를 위해 상당히 간략화한 정의로, 실제 자유군의 정의와는 다르다. '축약된 단어', '이어 쓰기 후 축약하기' 등이 직관적으로는 그 의미가 명백하고 유일성도 자명하지만, 엄밀한 수학적 논증을 하기에는 부족한 면이 있다. 이럴 때 보편 성질(Universal property)이 필요하다.

이 정의에 의해, 자유군은 군들의 범주(category) $\mathcal{Gr}$의 자유 오브젝트(free object)임을 알 수 있다. 자유군의 정의가 바뀌었으니, 자유군의 존재성과 유일성이 문제가 된다.

모든 군들은 그 군의 성질을 특징지어주는 몇 개의 등식을 가지고 있다. 예를 들어, 소수 $p$에 대하여 원소가 $p$개인 순환군 $G$를 생각할 수 있다. 이 때 임의의 $x \in G$에 대하여 $x^p = 1$을 만족하며, 이런 등식을 관계(relation)이라고 한다. 군들은 이런 관계 여러개에 의해 특정지어지는데, 이는 아무런 관계가 없는 자유군에 관계를 정의하여 얻어졌다는 관점에서 해석할 수 있다. 즉, 위에서 언급한 소수 순환군 $G$와 같은 경우에는 생성집합이 $\{ x \}$인 자유군 $\mathcal F(\{ x \})$에 관계 $x^p = 1$, 같은 말로 단어 $x^p = xxx \cdots x$와 항등원 $1$이 그냥 같은 단어라고 정의하여 얻어졌다고 보는 것이다. 이를

와 같이 표현하기도 한다. 그런데 과연 모든 군에서 이런 관점을 적용할 수 있을까 의문이 들 수 있는데, 있다!

이 정리와 제1 동형사상 정리로부터, 모든 군을 자유군에 관계를 정의함으로서 얻을 수 있다. 이렇게 자유군에 관계를 주어 군을 표현하는 것을 군의 표현(group presentation)이라고 한다.

아래는 몇몇 군의 표현 예시이다. 더 많은 예시는 Wikipedia 참조.

군 $G_\alpha (\alpha \in I)$들의 자유곱(free product)은 $\bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha$의 원소들로 만들어진 자유군을 의미한다. 그런데 몇 가지 조심해야 할 점이 있다. 우선, 이 군들은 항등원 $1_{G_\alpha}$를 가지고 있는데 이들을 전부 같은 문자로 본다. 또, 2번 문단에서 형식적인 기호로 정의했던 $x^{-1}$들은 이 $x$가 군의 원소이므로 그 의미가 확실하게 정의됨에 주의해야 한다. 마지막으로, 축약된 단어를 만들 때 축약 규칙 $x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1}$뿐만 아니라 원래 군의 연산 규칙까지 모두 적용하여 축약을 해야 한다. 이렇게 얻어진 자유곱을 ${\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha$로 쓰는 것이 일반적이나[10], 범주론적인 의미를 강조하기 위해 $\coprod_{\alpha \in I} G_\alpha$의 표기도 쓰인다.

예를 들어, 두 군 $G$와 $H$의 자유곱은 다음과 같은 원소들로만 이루어져 있다.

여기서 $g_i \in G - \left\{ 1_G \right\}$, $h_i \in H - \left\{ 1_H \right\}$. 왜냐하면, 같은 군에 속하는 두 문자가 연달아 나타난다면 이는 두 문자의 연산 결과로 대체되기 때문이다. 또한 중간에 $1_G, 1_H$들이 포함되어 있는 것은 아무런 영향을 주지 못한다.

한편 자유군 $\mathcal F(S)$는 $S$의 원소 갯수인 $\lvert S \rvert$만큼의 덧셈군 $\mathbb{Z}$의 자유곱으로 볼 수도 있다. 즉 $\mathcal F(S) \cong {\large *}_{1 \leq i \leq \lvert S \rvert} \mathbb{Z}$. 이 관점은 가환군화(abelianization)를 할 때 유용하다.

자유곱의 계산은 보기보다 훨씬 복잡하다. 예를 들어, 단순해 보이는 $\mathbb Z/2\mathbb Z * \mathbb Z/2\mathbb Z$는 유한군조차 아니며, 각 $\mathbb Z/2\mathbb Z$의 생성원 $a, b$에 대하여 $abab\cdots a$과 같은 원소들도 전부 포함하고 있다. 그렇다고 해서 정수군 $\mathbb Z$와도 동형이 아니며, 실제 계산 결과는 기묘하게도 두 군 $\mathbb Z$와 $\mathbb Z/2\mathbb Z$의 준직합(semidirect product) $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z$가 된다.[11] 원소의 개수가 고작 4개밖에 되지 않는 $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$와도 비교해 보면 그 난해함이 더욱 잘 느껴진다. 유한군의 자유곱도 이정도로 난해한데, 자유군 $\mathcal F_2 = \mathbb Z * \mathbb Z$와 같은 군들은 후술할 위상수학에서의 응용을 생각하지 않으면 성질을 파악하기조차 힘들다.

자유곱 또한 보편 성질로서 정의가 가능하며, 그 방법은 아래와 같다.

이렇게 새로 정의된 자유곱의 존재성과 유일성 증명은 자유군의 그것과 완전히 똑같이 가능하다. 또한, 범주론적 관점에서 자유곱은 쌍대곱(coproduct)에 대응한다.

자유 가환군(free abelian group)은 자유군에 교환법칙만을 조건으로 준 것이다. $S = \left\{ x, y, z \right\}$일 때, 위에서 설명한 군의 표현을 떠올려보면

가 될 것이다. 이 군은 자유군에 비해 파악하기가 훨씬 간편한데, 예를 들어 $x^2zyx^{-1} = x^2zx^{-1}y = x^2x^{-1}zy = xzy = xyz$와 같은 관계가 성립하므로 모든 원소를 $x^ay^bz^c (a, b, c \in \mathbb Z)$로 표시할 수 있기 때문이다. 가환군의 범주 $\mathcal{Ab}$와 $\mathbb{Z}$-가군의 범주 $\mathcal{Mod}_{\mathbb Z}$는 동형이므로, $S$에 정의된 자유 가환군 원소들은 (더하기 표현을 남용하여)

와 같이 쓸 수 있다.

일반적으로, 집합 $S$위에 주어진 자유 가환군 $\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S)$ 역시 보편 성질로서 정의되며 그 방법은 다음과 같다.

보편 성질로 정의된 자유군의 정의와 거의 같으며, 밑줄을 친 부분만 달라진 것이다. 역시 존재성과 유일성이 문제시 되지만, 위 구성을 참고하면 금방 보일 수 있다. 또한 $\mathbb{Z}$-가군의 범주 $\mathcal{Mod}_{\mathbb Z}$에서 생각하면,

라 볼 수도 있다.[14] 다만 자유 가환군을 이런 식으로 다룰 때는 우변의 $\displaystyle\sum_{g \in G} n_gg$가 실제 합이 아닌, 형식적인 유한 합으로 보아야 함에 주의해야 한다. 이 때 두 원소의 연산은

로 주어진다. 물론 거의 모든 $m_g$와 $n_g$가 0이므로, $m_g + n_g$도 거의 모두 0이고 이 연산이 잘 정의됨은 명백하다. $S$가 유한집합이라면, 거의 모두 0인지 여부를 신경 쓸 필요가 없으므로 $\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \cong \mathbb Z^{\lvert S \rvert}$라 봐도 무방하다.[15]

한편, 가환 다이어그램을 적절히 활용하면 다음 사실을 증명할 수 있다. 이는 관계의 관점에서 보았을 때, 자유 가환군은 자유군에 교환법칙만을 추가하여 얻어진다는것을 의미한다.

자유군은 보편 성질이 붙은 게 다 그렇듯이 의미는 중요하지만, 정작 대수학을 배우며 이 자유곱을 다룰 일은 드물다. 애초에 군론을 깊게 파지 않으면 자연스럽게 등장하지 않기 때문이고, 설사 다룬다고 하더라도 자유군과 자유곱의 괴악한 성질[17] 때문에 다가가기가 쉽지 않다. 한편 자유군에서는 일반적인 직관으로는 믿기 힘든 결과가 나오기도 하는데, 2개의 문자로 된 자유군 $\mathcal F_2$에 5개 문자로 된 자유군 $\mathcal F_5$와 동형인 부분군이 존재한다!

대수학에서의 취급과는 다르게, 자유곱은 정말 뜬금없이 위상수학에서 등장한다. 그것도 상당히 중요한 개념인 공간의 기본군(fundamental group)을 계산할 때 필요한 내용. 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)에 따르면, 기본군이 $G, H$인 두 공간을 한 점에서 이어붙인 공간의 기본군은 자유곱 $G * H$이다.

또한 덮개 공간(covering space)을 생각하면, 고리가 2개 연결된 8자 모양을 고리가 5개인 모양으로 잘 덮어서 $\mathcal F_2$ 안에 $\mathcal F_5$를 집어넣을 수도 있고, 더욱 나아가 위에서 언급한 Nielsen–Schreier 정리(자유군의 부분군은 항상 자유이다)를 증명할 수도 있다.