자기동형수

Automorphic number. 주어진 진법에서 아무리 거듭제곱하여도 끝자리가 유지되는 수를 말한다.

$b$진법의 $k$자리 자연수 $n$이 자기동형수라는 것은 임의의 자연수 $m$에 대해 $n^m \equiv n\left(\text{mod}\,b^k\right)$가 성립함을 의미한다. 사실 $m=2$일 때만 성립해도 모든 자연수에서도 같은 성질이 성립한다.

특히, 0, 1은 모든 진법에서 거듭제곱에 대한 멱등원(idempotent element)이므로 특수하게 다뤄진다.

자명한 경우로, 거듭제곱한 횟수에 상관없이 홀수일 경우 끝자리가 반드시 1이며, 짝수일 경우 끝자리가 반드시 0이다.

각 자리수마다 4개의 자기동형수가 있다. $a_1=0,1,5,6$에서 시작해서 $a_{2n} = 3(a_n)^2-2(a_n)^3$을 반복한 뒤 잘라내면 원하는 길이의 자기동형수를 얻을 수 있다.
0→00→0000(→000)→00000000(→00000,000000,0000000)→...
1→01→0001(→001)→00000001(→00001,000001,0000001)→...
5→25→0625(→625)→12890625(→90625,890625,2890625)→...
6→76→9376(→376)→87109376(→09376,109376,7109376)→...

파일:이과살았으면76.jpg
이과 망했으면 시리즈에서 볼 수 있는 해당 현상은 76이 10진법의 두 자리 자기동형수이기 때문에 일어난다.