double radical · 二 重 根 號 근호 안에 근호가 하나 더 있는 것. 근호가 총 세 개 이상이면 다중근호(
多 重 根 號 )라고 한다.
근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 일반적으로 모든 근호를
1 + 2 2 \sqrt{1+2\sqrt{2}} 1 + 2 2 처럼 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, 다중근호일 때도 마찬가지이다.
이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다.
a + b + 2 a b = a + b a + b − 2 a b = a − b ( a > b ) \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (a>b) \end{aligned} a + b + 2 ab a + b − 2 ab = a + b = a − b ( a > b ) 증명은 아래와 같다.
a + b + 2 a b = ( a ) 2 + 2 a b + ( b ) 2 = ( a + b ) 2 = a + b a + b − 2 a b = ( a ) 2 − 2 a b + ( b ) 2 = ( a − b ) 2 = a − b ( ∵ a > b ) \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (\because \,a>b) \end{aligned} a + b + 2 ab a + b − 2 ab = ( a ) 2 + 2 a b + ( b ) 2 = ( a + b ) 2 = a + b = ( a ) 2 − 2 a b + ( b ) 2 = ( a − b ) 2 = a − b ( ∵ a > b ) 위 증명에서는 다음의
곱셈 공식 을 사용했다.
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 \displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} ( a + b ) 2 ( a − b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 또한 이중근호가 씌인 항에 대해서
아래의 주의사항 이 있다:
a ± b ≠ a ± b ≠ a ± b \displaystyle \sqrt{\sqrt{a\pm b}}\neq\sqrt{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} \neq\sqrt{\sqrt{a}}\pm\sqrt{\sqrt{b}} a ± b = a ± b = a ± b 이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호,
⋯ \cdots ⋯ 도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.
다중근호가 들어간 대표적인 식으로
카를 프리드리히 가우스 가 구한 정십칠각형의
코사인 값이 있다.
16 cos ( 2 17 π ) = − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 16 \cos{ \left(\dfrac{2}{17} \pi \right)} = - 1 + \sqrt {17} + \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} + 2 \sqrt {17 + 3 \sqrt {17} - \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} - 2 \sqrt {34 + 2 \sqrt {17}} } 16 cos ( 17 2 π ) = − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 수학Ⅰ 의 1단원에 속하는 〈식의 계산〉 부분에서 다룬다. 따라서 일본 대학 유학을 준비하는 한국인은 입시를 위해 이중근호를 공부해야 한다.
