유수

1. 개요2. 설명

2.1. 고립 특이점2.2. 무한대

3. 유수 정리

1. 개요 [편집]

유수(Residue[1])란 복소해석학에서 통용되는 수학적 용어이다.

2. 설명 [편집]

2.1. 고립 특이점 [편집]

z = z_0

가 함수

w = f(z)

의 고립특이점이면

0< \mid z - z_0 \mid< R

인 모든

z

에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여

f(z) =\displaystyle \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_n(z - z_0)^n

,

0< \mid z - z_0 \mid< R

와 같이 나타낼 수 있고, 곡선

C

가

z_0

의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수

a_n

은

a_n =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{\left(z - z_0\right)^{n + 1}}dz

이다.

특히

a_n

에서

n = -1

일 때 계수

b_1 = a_{-1} =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}f(z)dz

를 고립특이점

z = z_0

에서

f(z)

의 유수라 하고 이것을 보통 $b_1 = Res[f, z_0]$ 와 같이 표시한다. 만약

z = z_0

가

f(z)

의 없앨 수 있는 특이점이면

Res[f, z_0] = 0

이다. 그런데

z_0

이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.

2.2. 무한대 [편집]

3. 유수 정리 [편집]

함수 $f(z)$ 가 단일 닫힌곡선 $C$ 의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 $z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n$ 을 제외하고 $C$ 의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 $z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n$ 에서 유수가 $Res[f(z), z_k]$ 이면 다음이 성립한다.
$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k]$

증명

각 특이점

z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n

을 중심으로 하고,

C

의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각

C_1, C_2, \centerdot\centerdot\centerdot, C_n

을 나타내고, 각 원의 방향을

C

와 같은 방향으로 하면 코시의 적분공식에 의하여

\displaystyle \int_{C}f(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz + \centerdot\centerdot\centerdot + \int_{C_n}f(z)dz

이다.
여기서

z = z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n

에 대한 유수의 정의를 적용하면

Res[f(z), z_k] = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C_k}f(z)dz

이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다.

\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k]

무한대에서는

\displaystyle \sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k] + Res(f(z), \infty)

로 간략하게 표현할 수 있다.

[1] '레지듀(...)'다. ~~귀엽다~~