야코비안

카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법.

다중적분(Multiple integral)(Area, Volume, Surface integral)을 할 때, 미분소 ${\rm d}A$, ${\rm d}V$, ${\rm d}S$ 등을 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식이다.
예를 들어, 면적분의 좌표계를 바꾸기 위해 $(x,\,y)$로 표현되는 좌표를 $(r,\,\theta)$로 바꿔줄 때 야코비안 $J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix}$를 이용해

로 바꿔주어 적분한다.

덧붙여 야코비안은 행렬식이기 때문에 정보량이 꽤 크다. 이를 간단하게 표기하기 위해서, 다음과 같은 표기법을 사용하기도 한다.

일반적으로는 $n$개의 변수를 마찬가지로 $n$개의 변수로 치환하기 때문에 $n$차 정사각행렬의 행렬식의 형태를 띄게 되는데, 미분기하학 등의 분야에서는 변수를 줄여서 매개화를 시키는 경우에 한해서 정사각행렬이 아닌 야코비 행렬만을 따지기도 한다. 예를 들면 다음과 같은 경우가 있다.

이 행렬은 $J = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{pmatrix}$의 $3\times2$ 행렬이 되는데, 당연히 행렬식을 구할 수는 없으니 의미가 없어보이지만, 이 행렬의 전치행렬에 3차원 좌표계의 기저벡터$(U_1, U_2, U_3)$를 추가하여 행렬식을 구성. 즉 벡터로 변환하게 되면 다음과 같다.

$J^{T *} = \begin{vmatrix} \begin{aligned} U_1 \\ \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_2 \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_3 \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{vmatrix}=\left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}-\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v},\,\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v},\,\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)$

그런데 이 벡터는 $\bf x$를 $u$와 $v$로 편미분한 두 미분벡터 ${\bf x}_u,\,{\bf x}_v$의 외적과 정확히 일치한다는 것이 알려져 있다. 이런 식으로 야코비안은 반드시 정사각행렬이 아니더라도 다양한 분야에서 사용된다.

벡터를 이용한 면적의 넓이 공식 및 다변수 함수의 전미분으로부터 유도할 수 있다. 간단하게 2차원 직교 좌표계의 경우를 보자.

${\rm d}x$, ${\rm d}y$는 서로 독립이며 각각 $x$축, $y$축에 평행한 미소 길이므로 단위 벡터 ${\bf e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, ${\bf e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$를 이용하여 나타내면 각각

가 된다. 두 벡터를 변으로 삼는 평행사변형의 넓이는 각 벡터를 병합한 2차 정방행렬의 행렬식[1]이므로 $xy$직교좌표계에서의 미소 면적의 넓이는

로 주어진다.

한편 $x,\,y$가 극좌표 매개변수 $r,\,\theta$로 나타낼 수 있는 함수 $x(r,\,\theta)$, $y(r,\, \theta)$라고 할 때 각각의 전미분 ${\rm d}x,\,{\rm d}y$는 다음과 같이 된다.

$\mathrm dr$, $\mathrm d\theta$도 서로 독립이며 $\mathrm dx$, $\mathrm dy$처럼 벡터로 나타낼 수 있으므로 위 전미분 식의 미소 길이를 모두 벡터로 대체한다.

이제 이것을 행렬식에 대입하면

행렬식은 전치를 해도 값이 같으므로 위 식 전체를 전치하면 $({\bf AB})^{\rm T} = {\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T}$에서

일반적으로 ${\rm d}x{\rm d}y$, ${\rm d}r{\rm d}\theta$가 양의 값이 되도록 좌표축을 잡으므로

$3$차원 공간 좌표계를 이용해서도 같은 방법으로 유도할 수 있다. 더 힘들 뿐이다.

선형대수학이나 공업수학의 상미분방정식 파트의 연립상미분방정식(system of ODE)에서 등장한다. non-homogeneous ODE의 critical point 근처에서의 거동을 알아보기 위해 non--homogeneous항을 선형성있게 행렬로 근사한 후 값을 대입하여 solution curve의 개형을 알아본다.

n원일차연립방정식에서는 n x n의 야코비 행렬이 쓰인다.

만약 critical point 근처라면, x'(t)와 y'(t)는 다음과 같은 합으로 나타낼 수 있다.

()

여기서, critical point 근처에서는 x'(t)≈0, y'(t)≈0이므로 oo항을 날릴 수 있다.

(미완성)