쌍곡삼각형

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1. 개요2. 성질3. 공식
3.1. 쌍곡삼각형의 사인 법칙3.2. 쌍곡삼각형의 코사인 법칙
파일:Hyperbolic-triangle-interior-angles.svg.png

1. 개요 [편집]

雙曲三角形 · hyperbolic triangle

쌍곡면[1] 위에 그려진 삼각형을 말한다. 똑같은 비유클리드 기하학의 도형인 구면삼각형과는 달리, 딱히 실용적인 쓰임은 없다시피한 편.

2. 성질 [편집]

  • 내각의 합은 π\pi보다 작다.
    • 위 성질 때문에 구면삼각형과는 달리 오목삼각형이 존재하지 않는다.
  • 삼각형의 넓이는 반지름이 1인 푸앵카레 원반 기준 π\pi에서 내각의 합을 뺀 값이다.

3. 공식 [편집]

구면삼각형의 공식에서 일부 항이 쌍곡선 함수로 갈음된다.

3.1. 쌍곡삼각형의 사인 법칙 [편집]

sinh⁡asin⁡A=sinh⁡bsin⁡B=sinh⁡csin⁡C \dfrac{\sinh a}{\sin A}=\dfrac{\sinh b}{\sin B}=\dfrac{\sinh c}{\sin C}

3.2. 쌍곡삼각형의 코사인 법칙 [편집]

  • 변에 대한 코사인 법칙
    cosh⁡c=cosh⁡acosh⁡b+sinh⁡asinh⁡bcos⁡C \cosh c=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\cos C
  • 각도에 대한 코사인 법칙
    cos⁡C=−cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡Bcosh⁡c\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c
  • 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한 것
    cosh⁡c=cosh⁡acosh⁡b−sinh⁡asinh⁡bcos⁡Acos⁡B1−sinh⁡asinh⁡bsin⁡Asin⁡B\cosh c=\dfrac{\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos A\cos B}{1-\sinh a\sinh b\sin A\sin B}
[1] 일반적으로는 안장 모양인 쌍곡포물면을 말한다. 이외에도 푸앵카레 원반 등이 있다.

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