산술함수

1. 개요2. 산술함수의 성질

2.1. 승법성2.2. 디리클레 합성곱2.3. 디리클레 급수

3. 주요 산술함수들의 목록

Arithmetic Function

1. 개요 [편집]

자연수 혹은 정수 집합 및 그 부분집합에서 실수/복소수로 가는 함수들 중, 정수론에서 빈번하게 쓰이는 함수들을 말한다.

대부분의 산술함수는 정수의 성질을 연구하기 위해 등장한 함수들로, 일반적인 수열이나 함수랑은 다른 정수론만에서의 고유한 방식으로 탐구된다.

2. 산술함수의 성질 [편집]

2.1. 승법성 [편집]

산술함수

f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}

가 승법 함수 및 곱셈적 함수(multiplicative function)라는 것은, 서로소인

m,n

에 대해

f(mn) = f(m) f(n)

이란 것을 의미한다. 승법 함수는 소수의 거듭제곱꼴

p^e

에서의 값을 알면 모든 값을 알 수 있다. 약수의 개수, 합, 오일러 파이 함수 등 상당히 많은 함수들이 승법성을 만족시킨다.

완전 승법 함수 및 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)는 위 조건이 모든

m,n

에 대해 만족되는 함수이고, 이 경우에는 소수 위에서의 값만 알아도 충분하다. 완전 승법 함수로는

n

의 거듭제곱 꼴 외에도 디리클레 지표(Dirichlet character) 등등이 있다.

2.2. 디리클레 합성곱 [편집]

산술함수

a,b

의 디리클레 합성곱

c = a * b

는

\displaystyle c(n) = \sum_{d \vert n} a(d) b(\frac{n}{d}) = \sum_{de=n} a(d) b(e)

로 정의된다. 이 디리클레 합성곱은 다음의 성질을 지닌다.

결합법칙, 교환법칙, 합과 상수배에 대한 분배법칙이 성립한다.
항등원은 $n=1$ 에서 1의 값을 가지고 나머지에선 0인 함수이다.[1]
함수 $a$ 의 역원이 존재할 필요충분조건은 $a(0) \neq 0$ 이다.

항등함수

1

의 역원을 뫼비우스 함수(Möbius function)

\mu

라 하며, 이 함수는 다음을 만족시킨다.

b = 1 * a \Rightarrow a = \mu * b

이를 풀어쓰면 다음과 같다.

\displaystyle b(n) = \sum_{d \vert n} a(d) \Rightarrow a(n) = \sum_{d \vert n} b(\frac{n}{d}) \mu(d)

이를 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)이라 부른다.

2.3. 디리클레 급수 [편집]

산술함수

a(n)

의 디리클레 급수(Dirichlet series)는

\sum a(n) n^{-s}

로 정의된다. 산술함수가 다항식 이하의 성장성을 보일 경우 이 급수는 특정 범위에서 수렴하고, 그렇지 않으면 단순히 형식적인 표현으로 간주된다.

디리클레 급수는 정수의 곱에 대한 성질과 여러 방식으로 관련을 맺고 있다. 예로 승법 함수의 경우 디리클레 급수는 소수

p

에 대한 곱들로 나타낼 수 있고, 이 소수

p

에 대한 인수가 유한한 항으로 나타낼 수 있을 때 오일러 곱(Euler product)이 존재한다고 표현한다. 대표적인 예시로 리만 제타 함수의 오일러 곱

\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\, \in\,\mathbb P} \frac{1}{1-p^{-s}}

이 있다. 또한 디리클레 합성곱이 디리클레 급수에서는 곱으로 대응되는 된다는 성질이 있어서, 약수와 관련된 성질을 다룰 경우 이 급수가 자연스럽게 등장하는 경우가 많다.

한편으로 디리클레 급수는

x = \log n

위에서의 이산 질량 분포의 라플라스 변환의 일종으로 간주될 수 있다. 복소해석학에 익숙하다면 라플라스 변환의 역변환인 멜린 변환(Mellin transform)을 통해 디리클레 급수에서 산술함수의 합에 대한 정보를 이끌어낼 수 있고, 이 사고방식은 리만 가설 이후 현재까지의 해석적 정수론의 주 패러다임이 되어 왔다.

물론 산술함수의 생성함수로 디리클레 급수만 쓰이는 건 아니고, 기존 일반 생성함수나 세타 급수(theta series)

\sum_n a_n e^{-n^2 \tau + 2 \pi i n z}

등등 다른 급수를 생각하는 경우도 많다.

3. 주요 산술함수들의 목록 [편집]

별도의 언급이 없으면 함수들의 정의역은 자연수(양의 정수)로 간주한다. 이 목록 외에도 무수히 많은 산술함수들이 있다.

n

의 소인수분해 표현을

\displaystyle n=\prod_{i=1}^{t} p_i^{e_i}

이라 하자.

약수의 개수 $d(n)$ 혹은 $\tau(n)$
$\displaystyle d(n) := \sum_{d \vert n} 1 = \sum_{ab=n} 1 = \prod_{i=1}^{t}(e_i+1) = 1 * 1$

디리클레 약수 함수 $d_k(n)$ 혹은 $\tau_k(n)$

\displaystyle d_k(n) := \sum_{a_1 a_2 \cdots a_k =n} 1 = \prod_{i=1}^{t} \binom{e_i+k-1}{k-1} =1*\cdots*1(k \text{ times})

소인수의 개수 $\Omega(n)$ , 서로 다른 소인수의 개수 $\omega(n)$
$\displaystyle \Omega(n) := \sum_{p^k \vert n} 1= \sum e_i, \quad \omega(n) := \sum_{p \vert n} 1 = t$

약수의 합 $\sigma(n)$
$\displaystyle \sigma(n) := \sum_{d \vert n} d = \prod_i \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i-1} = 1*n$

약수의 거듭제곱의 합 $\sigma_k(n)$

\displaystyle \sigma_k(n) := \sum_{d \vert n} d^k = \prod_i \frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1} = 1 * n^k

오일러 파이 함수 $\varphi(n)$
$\displaystyle \varphi(n) := \sum_{1 \le a \le n, \mathrm{gcd}(a,n)=1} 1 = n \prod_{p \vert n}(1-\frac{1}{p}) = n * \mu(n)$

뫼비우스 함수 $\mu(n)$
$\displaystyle \mu(n) := \begin{cases} 1 & \text{if } n=1 \\(-1)^t & \text{if } n = p_1 p_2 \cdots p_t, \text{ product of distinct primes} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}, \quad 1 * \mu(n) = \delta_{n0}$

디리클레 지표(Dirichlet character) [2]
- 르장드르 기호 및 야코비 기호: 정의는 이차 잉여 항목을 참고.
- 힐베르트 기호
소수 계량 함수와 체비쇼프 함수 2종
- $\pi(x), \psi(x), \vartheta(x)$ [3]
$\displaystyle \pi(x) := \sum_{p \le x} 1, \quad \psi(x) := \sum_{p^k \le x} \log p, \quad \vartheta(x) := \sum_{p \le x} \log p$
- 폰 망골트 함수 $\Lambda(n)$
$\displaystyle \Lambda(n) := \mu * \log(n) = \begin{cases} \log p & \text{if } n = p^k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

[1] 집합 판별 함수를 사용해

\bold{1}_{\{1\}}(n)

으로 표현할 수 있다.[2] 합동식으로 정의될 수 있는 특성상 승법성을 희생하지 않으면서 모든 정수로 정의역이 확장될 수 있다.[3] 이들 함수는 '실수 x보다 작은 합'의 형식으로 양의 실수 전체를 정의역으로 받는 것이 보통이다.