분할

조합과 관련된 내용이다. 분할에는 자연수의 분할과 집합의 분할이 있다. 한마디로 자연수와 집합을 조합을 이용해 나누는 방법.

대한민국의 고등학교 수학 교과목에는 제7차 교육과정에서 이산수학에 있었다가 2007 개정 교육과정에서 아예 삭제되었고 2009 개정 교육과정에서 확률과 통계에 편입되었다. 2015 개정 교육과정(문·이과 통폐합 교육과정)에서부터 다시 삭제된다.

자연수 $n$을 $r$개의 자연수의 합으로 나타내는 가짓수를 $p\left(n,\ r\right)$로 표기한다(단, $1 \le r \le n$). 이때 순서는 생각하지 않는다. 예를 들어 $5$를 $3$개의 자연수로 나누면 $5=3+1+1=2+2+1$ 이므로 $p\left(5,\ 3\right)=2$ 이다.
모든 경우를 다 합친 것은 $\displaystyle \sum_{k=1}^n p\left(n,\ k \right) = p_n$으로 표기하는데, 이를 분할수라고 부른다.

자연수의 분할에서는 다음 공식이 성립한다.
$p\left(n,\ 2 \right) = \left[\dfrac n2 \right]$, $p\left(n,\ 3 \right) = \left\{\dfrac{n^2}{12} \right\}$

단, 여기서 $\left[ x \right]$는 $x$를 넘지 않는 최대정수이고 $\left\{ x \right\}$는 $x$를 반올림[1]한 것이다.

자연수 $n$을 분할하는 방법의 수를 분할수라고 한다. 따라서 분할수는 $p\left(n,\ k\right)$들의 합으로 나타내어진다. 자세한 설명은 항목 참고.

$(3,\ 2,\ 2)$, $(3,\ 3,\ 1)$과 같이 서로가 서로의 '$k$ 이상의 자연수 개수'를 나타내는 두 분할의 관계를 켤레 분할(conjugate partition) 또는 공액 분할이라고 한다. 즉 $(3,\ 2,\ 2)$에서는 $1$ 이상인 자연수의 개수가 $3$, $2$ 이상인 자연수의 개수가 $3$, $3$ 이상인 자연수의 개수가 $1$이므로 $(3,\ 2,\ 2)$의 켤레 분할이 $(3,\ 3,\ 1)$이 되고 같은 방법으로 따지면 그 반대 관계도 성립한다. 이는 파티션 개수대로 가로로 블록을 쌓고 세로로 블록 수를 세어서 새로운 파티션을 얻는 것과 같으므로, 켤레 분할은 일대일 대응이다.

제2종 스털링 수 (Stirling numbers of the second kind)

원소가 $n$개인 집합을 $r$개의 공집합이 아니면서 서로소인 부분집합들의 합집합으로 나타내는 가짓수를 $S\left(n,\ r\right)$로 표기한다.[2] 예를 들어 $\left\{1,\ 2,\ 3\right\}$을 $2$개의 부분집합들로 나누면 $\left\{1,\ 2\right\}\cup\left\{3\right\}=\left\{1,\ 3\right\}\cup\left\{2\right\}=\left\{2,\ 3\right\}\cup\left\{1\right\}$이므로 $S\left(3,\ 2\right)=3$ 이다. 자세한 설명은 제2종 스털링 수 문서 참고.

원소의 개수가 $n$인 집합을 분할하는 방법의 수를 벨 수라고 한다. 따라서 벨 수는 $S\left(n,\ k\right)$들의 합으로 나타내어진다. 자세한 설명은 벨 수 문서 참고.