독립시행

독립시행은 매 시행마다 특정 결과가 나올 확률이 변하지 않는 것으로, 이전 시행이 다음 시행의 확률에 영향을 주지 않는 시행이다. 확률을 배울 때 꼭 거쳐가는 도박사의 오류가 바로 이 독립시행에 대한 잘못된 해석이다.

조작이 없는 완벽한 주사위가 있다고 할때, 이전에 던진 값이 1이든 6이든 상관없이 다음번 던질때 각면이 나올 확률은 1/6 로 변치 않는다. 이것이 독립시행이다.

독립시행의 중요한 점은 주사위에서 1이 나올 확률이 1/6 이라고 해서, 6번 던지면 그중에 1번이 1이라는 보장은 전혀 없다는 것이다. 오히려 6번 던졌는데 1이 한번도 안나올 확률이 (5/6)^6 = 약 0.33 으로 33%나 된다. 즉, 주사위를 100번을 던지든 1000번을 던지든 1이 단 한번도 나오지 않을 수도 있고, 1이 나올 확률은 여전히 1/6이라는 것이다.

단, 주사위를 6번 던졌을 때 1이 한번은 나온다는 보장이 없다는 것이지, 6번 중 1번의 빈도로 1이 나온다는 것은 참으로, 독립시행과 확률적 기댓값의 개념은 서로 별개로 구분된다. 가끔 기댓값을 논할 때 독립시행을 들어 기댓값을 부정하는 오용 사례도 인터넷상에서 찾을 수 있다.

반대로 이전의 시행 결과가 현재의 확률에 영향을 준다면, 그것은 종속시행이다.

1번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 k라고 하자.
그럴 경우 v회 시행시 사건 A가 x번 일어날 가능성은...
$\displaystyle \binom{v}{x}{k}^{x}{\left ( 1-k \right )}^{v-x}$이다.

여기서 $\displaystyle \binom{v}{x}=_{v}C_{x}$이다.

간단히 생각하면 푸른 구슬 99개, 붉은 구슬 1개가 든 주머니에서 구슬을 하나 꺼내는 것과 같다. 붉은 구슬이 나올 확률은 1% 이다. 그런데, 만약 내 앞에 사람이 푸른 구슬을 뽑았고, 그 구슬은 폐기했다(혹은 주머니에 다시 넣지 못하게 했다)고 치면, 남은 푸른 구슬은 98개가 된다. 즉, 붉은 구슬이 나올 확률은 1.010101...% 로 증가하게 된다.