관성력

관성력(inertial force-慣性力)은 가속운동하는 공간(비관성 기준계) 안에 있는 관찰자의 '착각'에 의해 마치 있는 것처럼 느껴지는 가상의 힘이다. 관성력이라는 네이밍 때문에 물리를 갓 배우기 시작한 학생들은 보통 관성력이 관성을 유지해주는 힘이라고 잘못 이해하곤 하지만, 연관 개념일 뿐이지 엄연히 다른 개념이다. 관성에는 힘이 필요없다. 자세한 건 뉴턴의 운동법칙 중 제1 법칙 참조. 오히려 상대속도와 비슷한 개념이다. 관성력의 다른 말이 겉보기 힘이기도 하다. 관성력이 아니라 가상의 힘 또는 허구의 힘이 더 어울리는 이름이지만 어째서인지 관성력이라 불린다[1]. 관성력의 예로는 원심력과 코리올리 힘이 대표적이다.

30km/h로 운전하는 차에 타 직선도로를 따라 드라이브 하면서 바깥 풍경을 관찰하고 있다고 생각해보자. 아름다운 풍경에 감탄하며 자신이 차를 타고있다는것을 다 잊어버리고 무의식에 맡겨놨다고 생각하자. 그렇다면 일정 간격마다 가로수로 심어진 단풍나무는 (사실 가만히 있지만) 30km/h로 뒤로 가는것 처럼 느껴질것이다. 이것이 모두가 잘 아는 상대속도이다. 그런데 30km/h의 느린 운전에 짜증을 낸 뒷 차가 5초 동안 60km/h까지 등가속하여 추월을 하기 시작했다. 상대속도의 관점에서 뒷차의 가속도를 구해보면, 0km/h의 상대속도에서 30km/h의 상대속도까지 가속운동을 5초동안 하였으므로 "상대" 가속도는

$\displaystyle a_{\text{상}}=\rm \frac{30km/h-0km/h}{5 s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{5}{3}m/s^2$

가 된다.

마침 물리덕후였던 운전자가 이 가속도를 이용하여 뒷차의 알짜힘을 계산하기 시작하였다. ( 뒷차의 질량은 1500kg이다.)
$\displaystyle F_{\text{상}}=ma_{\text{상}}=\rm 1500kg \times \frac{5}{3}m/s^2=2500N$

이야기의 내막을 알고있는 우리의 입장에서 가속도와 알짜힘을 다시 한 번 구해보자. 뒷 차는 30km/h에서 60km/h로 5초동안 가속운동하였으므로 가속도는

$\displaystyle a= \rm \frac{60km/h-30km/h}{5 s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{5}{3}m/s^2$
엥? 상대 가속도와 같다. 그러면 질량은 불변이니 알짜힘은 2500N.

뒷차의 입장에서 보는 앞차는 0km/h에서 -30km/h로 5초동안 가속한다. 위와 유사한 계산은 생략하고 부호만 바뀌었으니 상대 가속도는 $\rm -\frac{5}{3}m/s^2$이다. 앞차의 질량을 1200kg라고 한다면, 알짜힘은 -2000N. 중요한건....

앞차의 실제 가속도는 0이고 알짜힘도 0이다. 엥? 뒷차는 전지적 시점과 상대적 시점의 알짜힘이 같았는데? 드디어 등장하는 개념이 바로....

전지적 관점과 상대적 관점에서 바라본 앞차의 알짜힘의 차이는 어디서 나온것일까.

그것은 관찰자가 탑승한 차(=기준계)의 운동상태와 관련있다. 등속운동을 하고있는 앞차(=관성 기준계)의 운전자는 자신이 운동하고 있다는 사실을 아는지 모르는지와는 상관없이 자신이 관찰하고 있는 대상인 뒷차의 알짜힘을 아무런 "편견"없이 파악할 수 있는것이다. 그런데 뒷차의 운전자는, 자신의 자동차(=비관성 기준계)가 2500N의 힘을 받으며 가속운동을 하고있다는 사실을 잊어버린다면, 마치 앞차가 반대방향으로 2000N만큼 힘을 받고 있다고 거꾸로 생각하게 되는것이다. 즉, 관찰자인 뒷차의 운전자가 착각하고있는 앞차의 알짜힘 -2000N이 바로 관성력이고, 이것은 사실 (관찰대상인 앞차가 아니라) 뒷차의 운전자 자신의 가속도($\rm \frac{5}{3}m/s^2$)에 앞차의 질량(1200kg)을 곱해주고 부호만 바꾼것이다.

만약 뒷차의 운동은 그대로이고, 앞차가 30km/h에서 54km/h까지 5초간 등가속운동을 한다면 어떻게 될까? 앞차의 가속도는

$\displaystyle a=\rm\frac{54km/h-30km/h}{5s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{4}{3}m/s^2$

이고, 상대가속도는

$\displaystyle a_{\text{상}}=\rm\frac{(-6)km/h-0km/h}{5s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=-\frac{1}{3}m/s^2$

이 되어, 가속도로 계산한 알짜힘은 1600N, 상대가속도로 계산한 알짜힘은 -400N이 된다. 또한 앞차가 바라본 뒷차의 상대가속도는 뒷차가 바라본 앞차의 상대가속도와 부호만 다르므로, 쉽게 계산할수있다.

위 표에서 뒷차의 운전자가 바라본 앞차의 상대적인 알짜힘 -400N은 앞차에 실제로 적용 알짜힘인 1600N에 뒷차의 가속도 $\rm\frac{5}{3}m/s^2$에 앞차의 질량 1200kg을 곱해준 값 2000N을 빼준값이다. 이를 일반화하면, 가속운동하는 공간안에 있는 관찰자가 어떤 물체에 적용된 알짜힘에 대해 관찰 할때, 다음과 같이 관찰한다고 볼수있다.

$F_{\text{관찰}}=F_{\text{실제}}-ma_{\text{공간}}$

위 식에서 $-ma_{\text{공간}}$는 물체에 실제로 적용된 힘은 아니지만, 관찰자는 실제로 적용된 알짜힘에 $-ma_{\text{공간}}$를 더한 값을 관찰하게되고, 이 $-ma_{\text{공간}}$를 관성력 또는 겉보기 힘이라고 한다.

이 문단에서는 관성력을 수학적인 관점에서 바라보도록 한다.

먼저 가만히 있는 관측자 A, 이리저리 움직이고 회전하는 B, 그리고 입자가 하나 있다고 가정해보자. B의 관점에서 입자의 위치를 $\textbf{x}_\text{B}$라 하자. 또한, B의 좌표의 단위벡터를 $\textbf{u}_\text{1}, \textbf{u}_\text{2}, \textbf{u}_\text{3}$라 하자. 마지막으로, A에서 B로 향하는 벡터를 $\textbf{r}_\text{AB}$이라 하자. 그렇다면,



따라서 A의 관점에서 입자의 위치는 다음과 같다.


양변을 시간에 대해 미분하자. 맨 오른쪽 항에는 곱의 미분법을 적용한다.


이건 속도다. 한번 더 미분해서 가속도를 얻자. 이번에는 두 항에 곱의 미분법을 적용한다.


중간에 두 항은 동일하니 같이 묶으면


뉴턴의 제2 법칙은


이걸 이전 공식에 적용하자. 양변을 입자의 질량인 m으로 곱해주면 된다.


여기서 $\textbf{F}_\text{A}$는 A가 생각하는 입자에게 가해지는 힘이고, $\textbf{F}_\text{B}$는 B가 생각하기에 입자에 가해지는 힘이다. 하지만,


이니까 관성력($\text{F}_\text{f}$)은 다음과 같다.

전 문단에서 구한 방정식 중에서 2번째와 3번째항이 회전할 때 발현된다. 회전을 하면 좌표의 단위벡터들의 방향이 바뀌기 때문이다.
먼저, 회전 벡터 $\mathbf{\Omega}$를 정의하자. 이 벡터의 방향은 오른손의 법칙으로 정의되며, 절댓값은 회전하는 B의 각속도다.

단위 벡터들은 이 회전벡터의 방향과 수직으로 변화하므로,


이 식이 왜 성립하냐 더 따져보자. 단위벡터와 회전벡터 사이의 각도를 $\phi$라 하자. 단위벡터는 $\mathbf{\Omega}$를 축으로 원 운동을 할 것이다. 이 원의 반지름은 $u\sin \phi$다. 아주 작은 시간 단위 $\Delta t$가 지난뒤, 단위벡터의 끝이 이동한 "거리"는 $\frac{\Delta u}{\Delta t}\Delta t = (u \sin \phi)(\Omega \Delta t) \rightarrow \frac{\Delta u}{\Delta t} = \Omega u \sin \phi$. 이는 호의 길의가 $R\theta$이기 때문이다. 여기서 $R$이 $u \sin \phi$, $\theta$가 $\Omega \Delta t$. 그러므로 $|\frac{d\textbf{u}}{dt}|=|\mathbf{\Omega} \times \textbf{u}|$. 변화하는 방향도 이 외적과 일치하니 (오른손 법칙으로 쉽게 확인 가능), $\frac{d\textbf{u}}{dt}=\mathbf{\Omega} \times \textbf{u}$가 성립한다.

양변을 한번 더 미분하면



$\frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt}$와 $\frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}$를 3.1문단의 방정식에 대입하면, 회전으로 인한 관성력은 다음과 같다. 단, B는 회전만 할 뿐 다른 가속은 하지 않는다고 가정.



첫번째 항이 코리올리 힘, 두번째 항이 원심력, 세번째 항은 오일러 힘[2]이다.

회전 없는 공전을 보자. 단, 공전의 각속력($\omega$)은 일정하다고 가정하고, 공전의 반지름은 $R$. $\frac{d\textbf{u}}{dt}=0$이니 $-m\textbf{a}_\text{AB}$만 신경쓰면 돼서, 계산이 매우 간단하다. x-y평면을 공전의 평면으로 잡으면 계산은 더더욱 쉬워진다.




이 결과는 3.2에서 본 원심력과 비슷한데, 가장 중요한 차이점은 공전하는 관점에서 원심력은 위치에 따라 그 크기가 변하지 않는다. 반면 자전하는 관점에서의 원심력은 회전축으로부터 멀어질 수록 크기가 증가한다.

현실에서도 매우 흔하게 찾아볼 수 있는 현상. 굳이 지구-달 같은 조석고정이 된 계가 아니어도 뭔가를 줄으로 꽉 매달고 빙빙 돌리거나, 원심 분리기를 사용하거나 할 때도 적용이 가능하다. 심지어 인간이 원형 트랙에서 달리는 것도 수학적으로 동일한 상황이다 (항상 시야의 왼쪽 또는 오른쪽이 항상 원의 중심을 향하고 있으므로). 이런 가정을 하면 공전의 회전벡터와 자전의 회전벡터가 $\mathbf{\Omega}$로 완전히 동일하다. 마지막으로, $\mathbf{\Omega}$는 항상 일정하다고 가정한다.





그러니까 관성력은


첫번째 항이 일종의 합동 원심력이고, 두번째 항이 코리올리 힘.

고전물리 학습자가 관성과 관성력에 관하여 처음으로 마주치는 예시는 출발 하는 버스의 문제일 것이다. 정지해있던 버스가 출발할 경우 서 있던 승객은 관성력이 작용하여 뒤로 넘어지려는 힘(=관성력)을 느낀다는것이 바로 그것이다. 여기서 첫번째 오해가 생기는데, 관성력이 실제로 작용하는 힘이라고 생각해버리는 것이다. 그러나 이 승객이 실제로 받는 힘은 자신의 발바닥에 가하는 버스 바닥의 정지 마찰력이다. 또한 이 힘의 방향은 승객이 넘어지려는 방향이 아닌 버스가 가속하는 방향이다.
두번째 오해는 관성력이 관성을 유지해주는 힘이라는 것이다. 그러나 뉴턴은 자신의 첫 번째 운동법칙에서 '관성'이라는 단어 자체를 "외부의 힘이 '없을 때' 등속운동을 한다는 것"으로 정의하였다. 다시 말하면 알짜힘이 존재하면 관성이라는 상태는 있을 수 조차 없다.