공분산

1. 개요2. 정의

2.1. 모공분산2.2. 표본공분산

3. 성질4. 해석5. 분산-공분산 행렬6. 공식

6.1. 심화

1. 개요 [편집]

covariance ・共分散

공분산은 두 개의 확률 변수의 선형관계를 나타내는 값이다. 한 확률 변수의 증감에 따른 다른 확률 변수의 증감의 경향에 대한 측도이다. 쉽게 말해 분산이라는 개념을 확장하여 두 개의 확률 변수의 흩어진 정도를 공분산이라고 하는 것이다.

2. 정의 [편집]

두 확률변수

X

,

Y

의 결합확률함수가

f(x,\,y)

일 때 다음을

X

,

Y

의 공분산이라고 한다.

{\rm Cov}(X,\,Y)={\mathbb E}\{(X-\mu_x)(Y-\mu_Y)\}

2.1. 모공분산 [편집]

모공분산은 모집단의 공분산이다.

{\rm Cov}(X,\,Y)

또는

\sigma_{XY}

로 쓴다.

X

와

Y

는 확률 변수,

N

은 모집단의 표본의 개수,

X_i

와

Y_i

는 각 확률 변수의 도수,

\mu

는 모평균을 뜻한다.

\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,Y)&=\sigma_{XY}\\&=\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_X)(Y_i-\mu_Y)\\&={\mathbb E}\{(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\}\end{aligned}

곧, 모공분산이란

X

의 편차와

Y

의 편차의 곱의 평균이다.

2.2. 표본공분산 [편집]

표본공분산은 표본집단의 공분산이다.

S_{XY}

로 쓴다.

X

와

Y

는 확률 변수,

n

은 표본집단의 표본의 개수,

X_i

와

Y_i

는 각 확률 변수의 도수,

\bar X

와

\bar Y

는 표본평균을 뜻한다.

\begin{aligned}S_{XY}&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}\\&={\mathbb E}\{(X-\bar X)(Y-\bar Y)\}\end{aligned}

곧, 표본공분산이란

X

의 편차와

Y

의 편차의 곱의 평균이다. 주의할 점은 (표본의 개수) $\boldsymbol{-1}$ 로 나눈다는 것이다.

n

이 아니라

n-1

로 나누는 것은 오차를 줄이기 위함으로, 일반적인 표본 분산의 계산법과 같다.

3. 성질 [편집]

공분산의 정의에 따라 같은 확률 변수 두 개의 공분산이란 결국 해당 확률 변수의 분산이 된다.

\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,X)&=\sigma_{XX}\\&=\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_X)(X_i-\mu_X)\\&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_X)^2\\&={\mathbb E}[(X-\mu)^2]\\&={\rm Var}[X] \\ \\S_{XX}&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(X_i-\bar X)(X_i-\bar X)}\\&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\\&={S_X}^2\end{aligned}

또한, 공분산의 계산에서는 두 확률 변수의 편차를 곱하므로, 교환법칙에 따라

{\rm Cov}(X,\,Y)={\rm Cov}(Y,\,X)

이다.'

공분산의 정의는 내적의 정의를 만족한다. 따라서 코시-슈바르츠 부등식을 적용할 수 있고 이를 통해 피어슨상관계수를 유도할 수 있다.

4. 해석 [편집]

확률 변수

X

와

Y

에 대하여 다음과 같이 해석한다.

${\rm Cov}(X,\,Y)>0$ 이면 $X$ 와 $Y$ 는 양의 관계
${\rm Cov}(X,\,Y)<0$ 이면 $X$ 와 $Y$ 는 음의 관계
${\rm Cov}(X,\,Y)=0$ 이면 $X$ 와 $Y$ 는 양도 음도 아닌 관계

주의할 점은

{\rm Cov}(X,\,Y)=0

을 $\boldsymbol X$ 와 $\boldsymbol Y$ 는 관계가 없다고 해석하면 안 된다는 것이다.

x^2+y^2=k^2

(

k

는 상수)이 대표적인 반례이다. 만약 두 확률 변수

X

와

Y

에 대하여 이 관계가 성립하면

{\rm Cov}(X,\,Y)=0

이다. 틀림없이 공분산은 0이지만, 분명히

x^2+y^2=k^2

이라는, 모종의 관계가 성립하고 있는 것이다.

5. 분산-공분산 행렬 [편집]

분산-공분산 행렬이란 다음과 같이 분산과 공분산을 나타낸 행렬을 말한다.

	$X$	$Y$	$Z$
$X$	${S_X}^2$	$S_{XY}$	$S_{XZ}$
$Y$	$S_{XY}$	${S_Y}^2$	$S_{YZ}$
$Z$	$S_{XZ}$	$S_{YZ}$	${S_Z}^2$

6. 공식 [편집]

{\rm Cov}(X,\,Y)={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)

[1]

[증명]

(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)=XY-\mu_XY-\mu_YX+\mu_X\mu_Y

를 이용하면

\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,Y)&={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(\mu_XY)-{\mathbb E}(\mu_YX)+{\mathbb E}(\mu_X\mu_Y)\\&={\mathbb E}(XY)-\mu_X{\mathbb E}(Y)-\mu_Y{\mathbb E}(X)+\mu_X\mu_Y\\&={\mathbb E}(XY)-\mu_X\mu_Y\end{aligned}

{\rm Var}(X+Y)={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y)+2{\rm Cov}(X,\,Y)

[증명]

분산의 정의에 의하여

{\rm Var}(X+Y)={\mathbb E}[(X+Y-\mu_{X+Y})^2]

이고

\mu_{X+Y}=\mu_X+\mu_Y

이므로

\begin{aligned}{\rm Var}(X+Y)&={\mathbb E}[(X-\mu_X+Y-\mu_Y)^2]\\&={\mathbb E}[(X-\mu_X)^2+2(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)+(Y-\mu_Y)^2]\\&={\mathbb E}[(X-\mu_X)^2]+{\mathbb E}[(Y-\mu_Y)^2]+2{\mathbb E}\{(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\}\\&={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y)+2{\rm Cov}(X,\,Y)\end{aligned}

일반화: ${\rm Var}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k\!\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{\rm Var}(X_k)+2\sum_{i<j}{\rm Cov}(X_i,\,X_j)$

$|{\rm Cov}(X,\,Y)|\leq\sqrt{{\rm Var}(X)\cdot {\rm Var}(Y)}$

6.1. 심화 [편집]

$X$ 와 $Y$ 가 독립이면 ${\mathbb E}(XY)={\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)=\mu_X\mu_Y$ 이므로
- ${\rm Cov}(X,Y)={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)=0$ [2]
- ${\rm Var}(X+Y)={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y)$

[1] 분산이 (제곱의 평균)−(평균의 제곱)이듯이, 공분산은 (곱의 평균)−(평균의 곱)이다.[2] 역은 성립하지 않는다. 공분산이 0이어도 두 확률 변수가 독립이라는 보장은 없다.