각뿔

角뿔 / Pyramid

다각형을 밑면으로 삼고, 다각형의 모든 변을 다각형이 존재하는 평면 밖의 한 점(정점, 頂點)과 이은 입체 도형.

밑면 하나와 밑면의 변의 개수만큼의 삼각형 옆면으로 이루어져 있다. 삼각뿔의 경우 밑면도 삼각형이므로 밑면과 옆면을 구분할 수 없다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다각뿔은 유클리드 공간에서 오직 3개(정삼각뿔, 정사각뿔(J1), 정오각뿔(J2))만 존재한다.[2]

각뿔의 밑면과 평행한 모든 단면은 밑면과 닮음이다.

각기둥 밑면의 넓이를 $A$, 밑면의 둘레를 $\ell$, 높이를 $h$라고 할 때

부피(volume) = $\displaystyle\frac{1}{3}Ah$

2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 부호는 ()∨P[6]로 3차원 다각뿔과 같다.

밑면의 초넓이가 A[7], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은

$\displaystyle A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}$

이므로, 높이 0~h까지 적분하면

$\displaystyle\int^{h}_{0}A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}\, dt$
$=\,\displaystyle-A\frac{h}{n}\left[\left(\frac{h-t}{h}\right)^n\right]^{h}_{0}$
$=\,\displaystyle\frac{1}{n}Ah$

따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 $\displaystyle\frac{1}{n}Ah$이다.