최대·최소 정리

함수 $f$가 $x_0 \in [a, b]$에서 연속이므로,

을 성립시키는 양수 $\delta > 0$가 존재한다. 이제 $I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$라고 놓으면, 삼각부등식에 의해

이다. 가장 오른쪽 $\lvert f(x_0) \rvert + 1$은 고정된 값이므로, $f \rvert_{I \cap [a, b]}$가 유계.□

각 $x \in X$에 대하여, [ 보조정리 1 ]의 열린 구간을 $I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)$라고 하자. 그렇다면 $\left\{I_x \right\}_{x \in X}$는 옹골집합 $X$의 열린 덮개(Open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서, $X$의 유한 부분 덮개(Finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 $\left\{I_{x_k} \right\}_{1 \leq k \leq n}$가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이 때, 함수 $f$는 구간 $I_{x_k} \cap X$에서 유계이므로

을 만족하는 $M_k > 0$가 존재한다. 이제 $\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k$라 놓자. 임의의 $x \in X$에 대해, $X \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k}$이므로 $x \in I_{x_i}$인 $1 \leq i \leq n$이 존재한다. 따라서 $\lvert f(x) \rvert < M_i \leq M$이고, 이는 모든 $x \in X$에 대해 참이므로 $f$는 $X$에서 유계이다.□

[ 보조정리 1, 2 ]에 의해 $f$는 $[a, b]$에서 유계이다. 그러므로 $M = \sup \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$와 $m = \inf \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$가 실수 집합 내에서 존재한다. 정의상 $x \in [a, b]$이면 $m \leq f(x) \leq M$. 이제 $f(x) = M$인 $x \in [a, b]$가 존재함을 증명하자.

결론을 부정하여, 임의의 $x \in [a, b]$에 대해 $f(x) \neq M$, 즉 $f(x) < M$을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 $g: [a, b] \to \mathbb R$는 잘 정의되며, 연속이다.(연속함수의 성질 참고.)

그러므로 $g$에도 [ 보조정리 1, 2 ]를 적용할 수 있다. $g$도 구간 $[a, b]$에서 유계이므로 적당한 실수 $N$이 존재하여, $g(x) = \lvert g(x) \rvert \leq N$이 성립한다. 따라서 $\dfrac 1{M - f(x)} \leq N$이고, $f(x) \leq M - \dfrac 1N, \ \forall x \in [a, b]$이다. 이는 $M$이 집합 $\left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$의 최소 상한(Supremum)이라는 가정에 모순이다.

그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 $f$는 $M$을 함숫값으로 가진다. 즉, $f$는 최댓값 $M$을 가진다. 한편, $\inf f = - \sup (-f)$ 및 $\min f = - \max (-f)$을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□

이번에도, 결론을 부정하여 $f(X)$가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 $f(x_0)) \in f(X)$에 대하여 어떤 $x' \in X$가 존재하여, $f(x_0) < f(x')$이 성립한다. 따라서

이다. 그러므로, $\left\{(- \infty, f(x)) \right\}_{x \in X}$는 옹골집합 $f(X)$의 열린 덮개가 된다. 이제 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개를 $\left\{(- \infty, f(x_i)) \right\}_{1 \leq i \leq n}$라 하면,

이다. 그런데 $\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \in f(X)$이므로, 이 값이 최댓값이 된다.

그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 $f(X)$는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우도 똑같이 증명할 수 있다.□