연속변형성

1. 개요2. 정의3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)4.3. 변형수축(Deformation retract)4.4. 동위(Isotopy)

1. 개요 [편집]

파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif

▲ 연속변형의 일종인 경로 연속변형. 출처

Homotopy · 連續變形(性)

연속변형성 혹은 연속변형은 대수적 위상수학의 연구 주제 중 하나로 특정 위상공간에 주어진 두 연속함수 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다.

2. 정의 [편집]

[ 정의 ] 연속변형성(Homotopy)

위상 공간

X, Y

와 연속함수

f, g: X \rightarrow Y

가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수

H: X \times [0, 1] \rightarrow Y

가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수

f, g

가 $H$ 에 의해 연속변형적(homotopic by $H$ )이라 정의한다.

함수 $H$ 는 연속함수이다.
$\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \mathsf{if} \ t = 0 \\ g(x), & \mathsf{if} \ t = 1 \end{cases}$

이 때, 연속함수

H: X \times [0, 1] \rightarrow Y

를 함수

f, g

사이의 연속변형(Homotopy)이라 하고,

f \simeq_H g

[1]라 쓴다.

구간

I = [0, 1]

의 원소를 시간으로 보면,

t \in I

가 흐름에 따라 함수

h_t: x \mapsto H(x, t)

가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임

\left\{ h_t \right\} _{t \in I}

가

f = h_0

부터

g = h_1

까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[2]

3. 성질 [편집]

3.1. 연속변형류(Homotopy class) [편집]

[ 명제 ] 위상 공간

X, Y

사이의 연속함수들의 집합

\mathcal C(X, Y)

에 관계

\sim

를

$f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g$ 가 연속변형적 $\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g$

으로 주면,

\sim

은

\mathcal C(X, Y)

위의 동치관계.

[ 증명 ]

f, g, h \in \mathcal C(X, Y)

라 하자.

$f \sim f$ : $H(x, t) = f(x)$ 라 정의하면 된다.[3]
$f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f$ : $H'(x, t) = H(x, 1 - t)$ 라 정의하면 된다.[4]
$f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g$ : $H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \mathsf{if} \ 0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \mathsf{if} \ \dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases}$ 라 정의하면 된다.[5]□

[ 정의 ] 연속변형류(Homotopy class)

위 사실로부터 얻어지는 상집합

\mathcal C(X, Y) / \sim

에 대하여, 각 함수

f \in \mathcal C(X, Y)

는 동치류

[f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim

를 가진다. 이

[f]

를

f

의 연속변형류(Homotopy class)라고 정의한다.

정의에 따르면,

[f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g

이다.

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type) [편집]

[ 정의 ] 위상 공간

X, Y

사이의 연속함수

f: x \to Y

에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수

g: Y \to X

가 존재할 때

f

를 연속변형 동치(Homotopy equivalence),

g

를

f

의 연속변형 역원(Homotopy inverse)라 한다.

$[fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X]$

이 때, 두 공간

X, Y

는 서로 연속변형 동치(Homotopy equivalent)라 부른다.[6] 서로 같은 연속변형 유형(Homotopy type)을 가진다고 표현하기도 한다.

4. 관련 개념들 [편집]

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy) [편집]

[ 정의 ] 경로 연속변형(Path homotopy)

위상 공간

X

와 경로

f, g: [0, 1] \rightarrow X

가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수

H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X

가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면,

H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y

를 경로

f, g

사이의 경로 연속변형(Path homotopy)이라 부른다.[7]

함수 $H$ 는 연속함수이다.
$\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \mathsf{if} \ t = 0 \\ g(s), & \mathsf{if} \ t = 1 \end{cases}$

위에서 정의한 연속변형의 경로 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간

[0, 1]

로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, 대수적 위상수학의 기본군(Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다.

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace) [편집]

[ 정의 ]

A

를 고정한 연속변형(Homotopy relative to

A

)

위상 공간

X, Y

, 부분 공간

A \subset X

와 연속함수

f, g: X \rightarrow Y

, 연속변형

H: X \times [0, 1] \rightarrow Y

가 주어져 있다고 하자. 만일

H

가 다음 조건을 만족하면, 연속변형

H

를 $A$ 를 고정한 연속변형(Homotopy relative to $A$ )이라 한다.

$\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x)$ [8]

이 때

f \simeq_H g \ \ \mathsf{rel} \ A

나

f \simeq g \ \ \mathsf{rel} \ A

로 나타낸다.

4.3. 변형수축(Deformation retract) [편집]

[ 정의 ] 변형수축(Deformation retract)

위상 공간

X

와 부분 공간

A \subset X

, 연속함수

H: X \times [0, 1] \rightarrow X

가 주어져 있다고 하자. 만일

H

가 다음 조건을 만족하면,

A

를 $X$ 의 변형수축(Deformation retract of $X$ )라 한다.

$\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x)$
$\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A$
$\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a)$

어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을

H(a, t) \in A

로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[9] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 기본군이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다.

4.4. 동위(Isotopy) [편집]

[ 정의 ] 동위(Isotopy)

위상 공간

X, Y

와 매장(Embedding)

f, g: X \rightarrow Y

, 연속변형

H: X \times [0, 1] \rightarrow Y

가 주어져 있다고 하자. 만일

H

가 다음 조건을 만족하면, 연속변형

H

를 동위(Isotopy)라고 한다.

$\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t)$ 로 정의된 $h_t: X \rightarrow Y$ 도 매장이다.

[1] 혼란의 여지가 없다면,

f \simeq g

의 표현도 사용한다.[2] 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게

h_t: X \to Y(t \in I)

라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는

t

에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다.[3] 시간의 흐름과 무관하게 움직이지 않는다고 생각.[4] Homotopy

H

의 시간을 거슬러 움직인다고 생각.[5] Homotopy

H_1, H_2

를 2배의 속도로 따라간다고 생각. 함수의 연속성은 붙임 보조정리로부터 얻어진다.[6]

f

의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다.[7] 두 경로

f, g

는

H

에 의해 연속변형적(homotopic by

H

)인 것은 위 정의에 의해 명백.

f \simeq_H g

나

f \simeq g

의 표현도 공유한다.[8] 물론 이것이 성립하려면,

f \rvert_A \equiv g \rvert_A

이어야 한다.[9] 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 강한 변형수축(Strong deformation retract)라고 부른다.