초실수체

초실수체 $\mathbb{R}^{*}$란, 무한소를 포함하며, $\mathbb{R}$에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 $\mathbb{R}^{*}$에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 $\mathbb{R}^{*}$에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 $\mathbb{R}$에서도 만족시키는 $\mathbb{R}$의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[1][2]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다.

초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. 표준 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.

어떤 집합 $I$에 대해서, $I$ 위의 필터(filter on $I$) $U\subset \mathcal{P}(I)$란 다음의 세가지 조건을 만족하는 $I$의 부분집합으로 이루어진 집합을 말한다.

임의의 $X\subset I$에 대하여 $X$와 $I-X$ 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 $U$의 원소일 때, $U$를 극대필터라고 한다.

극대필터 $U$의 모든 원소가 무한집합이면 $U$를 자유극대필터(free ultrafilter)라고 한다. 초른의 보조정리를 이용하면, 임의의 무한집합 $I$에 대하여, $I$위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[3] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[4]

자연수 집합 $\mathbb{N}$에 대하여 $\mathbb{N}$ 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on $\mathbb{N}$) $U$가 주어졌을 때, 실수열의 집합 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$에 대하여 다음과 같은 동치관계 $=_{U}$를 줄 수 있다.

이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 $\mathbb{N}$이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다.

$a$의 동치류를 $a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\}$로 나타내자. 그러면, 초실수체 $\mathbb{R}^{*}$는 $\mathbb{R}$ modulo $U$의 초거듭제곱(ultrapower)이다.

이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.

실수집합의 부분집합 $A\subset\mathbb{R}$을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다.

특히, 자연수 집합 $\mathbb{N}$, 정수 집합 $\mathbb{Z}$, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$, 무리수 집합 $\mathbb{I}$에 대하여, $\mathbb{N}^{*}$, $\mathbb{Z}^{*}$, $\mathbb{Q}^{*}$, $\mathbb{I}^{*}$ 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다.

아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 $X$를 실수열의 n-tuple이라 하자. ($X_{1},X_{2},X_{3}$ 등은 $X$의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) $X_{U}$는 $X$의 성분의 동치류로 구성된 $\mathbb{R}^{*}$의 n-tuple이다.
실수의 n항 관계 $R$은, $\{X_{U}|X\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}\times n},\{i\in\mathbb{N}|X_{i}\in R\}\in U\}$로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계$<$를 확장할 수 있다.

함수 $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$에 대하여 $f$의 자연스러운 확장 $f^{*}$를 자연스럽게 정의할 수 있다.

이렇게 정의해도 잘 정의되는 이유는 임의의 $Y\in X_{U}$에 대하여, $\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\in U$ 이고, $U$가 포함집합에 닫혀있어서

가 성립하기 때문이다. 이를 이용하면 실수의 사칙연산 등을 초실수의 사칙연산으로 확장할 수 있다.

집합 $A\subset\mathbb{R}$에 대한 지시 함수(indicator function) $\bold{I}_{A}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$는

로 정의되는 함수이다. 이 때, 함수 $\bold{I}_{A}$의 자연스러운 확장 $\bold{I}_{A}^{*}$은, 집합 $A$의 자연스러운 확장 $A^{*}$의 지시함수와 같다. 즉,

이 성립한다.

함수 $f$가 $A\subset \mathbb{R}^{n}$에서 정의되었을 때에는 $f^{*}:A^{*}\to\mathbb{R}^{*}$를

로 확장하자. 예를들어 $\div$는 $\mathbb{R}\times\left(\mathbb{R}-\{0\}\right)$에서 정의되므로 위와 같은 방법으로 확장할 수 있다.

$(\mathbb{R}^{*},+^{*},\times^{*},<^{*})$는 체공리와 순서공리를 만족시키는 순서체이다.

$\mathbb{R}^{*}$는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크다.

실수 $r\in\mathbb{R}$에 대하여 $\mathbb{R}^{*}$의 실수를 모든 항이 $r$인 실수열의 동치류 $(r,r,r,\cdots)_{U}$로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 $f:r\mapsto (r,r,r,\cdots)_{U}$는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, $\{(r,r,r,\cdots)_{U}|r\in \mathbb{R}\}$은 완비순서체이며, $\mathbb{R}^{*}$의 부분체이다.

양의 무한소란, 임의의 양수보다 작고 0보다는 큰 초실수이다. 예를들면, 수열 $a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}$에 대하여 ${a}_U$는 무한소이다. 임의의 양의 실수 $r$에 대하여, $\displaystyle\frac{1}{n}\geq r$을 만족하는 자연수 $n$이 많아야 유한개라서, 자유극대필터의 정의에 의해

가 성립하기 때문이다. 비슷하게, 수열 $a_{n}=n$에 대하여, ${a}_{U}$는 양의 무한대이다.

재밌는점은, 수열 $a_{n}=e^{(-1)^{n}n}$에 대하여, ${a}_{U}$는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, ${a}_{U}$는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, ${a}_{U}$는 무한소이다.[5]

초실수체 $\mathbb{R}^{*}$의 원소를 초실수라 한다. 비슷하게, $\mathbb{N}^{*}$, $\mathbb{Z}^{*}$, $\mathbb{Q}^{*}$, $\mathbb{I}^{*}$의 원소를, 각각, 초자연수, 초정수, 초유리수, 초무리수라고 한다.

무한소란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.

무한대란, 절댓값이 임의의 실수보다 큰 초실수를 뜻하며, 다음의 두가지 경우로 나뉘어진다.

유한 초실수는 무한대가 아닌 초실수를 뜻한다.

두 초실수 $a,b$에 대하여, $a-b$가 무한소이면, $a$와 $b$를 한없이 가깝다고 하고, $a\approx b$라고 쓴다. 이 때, 관계 $\approx$는 동치관계가 되는데, 이 관계의 $a$의 동치류

를 $a$의 monad라고 한다. 비슷하게, 집합

은 $a$의 galaxy 라고 한다.

$\epsilon,\delta$를 0이 아닌 무한소, $H,K$를 양의 무한대, $a,b$를 무한소가 아닌 유한 초실수라고 하자.

임의의 유한초실수 $a\in \mathbb{R}^{*}$에 대하여, $a=a_{0}+\epsilon$을 만족하는 실수 $a_{0}$와 무한소 $\epsilon$이 유일하게 존재한다. 이 때 함수 $\text{st}:a\mapsto a_{0}$을 표준 부분함수라고 한다.

즉, 임의의 양의 실수 $r$에 대하여

이 성립하므로, $\text{st}(a)$를 $a$에 "한없이 가까운" 실수로 이해할 수 있다. 이를 이용해서, 함수의 극한, 미분, 적분 등을 무한소의 개념을 이용하여 정의할 수 있다. 극한의 정의에 대해서 알고싶으면 극한 참고.