그람-슈미트 과정

Gram-Schmidt Orthogonalization

1. 개요2. 직교기저와 정규직교기저3. 구체적인 과정4. 응용

1. 개요 [편집]

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은

\mathbb{R}

,

\mathbb{C}

을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 모든 유한차원 내적공간은 정규직교 기저를 갖는다.

기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때, 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때, 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

유한차원 내적 공간

\left(V,\left<\cdot, \cdot\right>\right)

의 기저

\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}

를 생각하자.

$\displaystyle u_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j<i}}\frac{\left<v_{i}, u_{j}\right>}{\left<u_{j}, u_{j}\right>}u_{j}$
$\displaystyle w_{i}:=\frac{u_i}{\sqrt{\left<u_{i}, u_{i}\right>}}$

여기서,

\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\}

가 직교 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다.

w_{j}

의 크기는

1

이므로,

\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}

는 정규직교 기저이다.

임의의 $A\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ 에 대해, $U\in \text{U}\left(n\right)$ 가 존재하여[1], $AU^{-1}$ 은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[2]이다.
$A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ 의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 $w_{i}$ 를 이용하여, $U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right)$ 라 하자. 그러면 첫번째에 의해, $AU^{-1}$ 는 하삼각행렬임을 알 수 있다.

[1] 수반 연산자 항목 참조.[2] 주대각선 위 쪽이 모두

0

인 행렬