차원 정리

수학 관련 정보

Rank theorem

1. 개요2. Rank와 Nullity

2.1. 행렬의 경우2.2. 선형 변환의 경우

3. 행렬 버전

3.1. 증명

3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수3.1.2. 본정리의 증명

4. 선형 변환 버전

4.1. 증명

5. 같이 보기

1. 개요 [편집]

차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.

2. Rank와 Nullity [편집]

Rank는 계수, 차수로도 불린다.

2.1. 행렬의 경우 [편집]

행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]한 벡터공간을 행공간(row space), 열벡터들로 생성한 벡터공간을 열공간(column space) 또는 상(image)이라고 하고, 행렬

A

의 행공간을

\mathrm{row}(A)

, 열공간을

\mathrm{col}(A)

또는

\mathrm{im}(A)

[3]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.

\dim \left(\mathrm{row} \left(A\right) \right)=\dim(\mathrm{col}(A))

[4]

이 때 이 값을 행렬

A

의 Rank라고 하고,

\mathrm{rank}(A)

로 표기한다.

행렬

A

에 대해

A\mathbf{x}=\mathbf{0}

[5]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라고 하며

\mathrm{null}(A)

또는

\ker(A)

라고 표기한다. 영공간의 차원을 Nullity라고 하며[6]

\mathrm{nullity}(A)

로 표기한다.

2.2. 선형 변환의 경우 [편집]

선형 변환 참고.

3. 행렬 버전 [편집]

m×n 행렬 A에 대해 $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n$

이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[7]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.

3.1. 증명 [편집]

3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수 [편집]

이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.

A와 B가 행동치(Row Equivalent)[8]인 행렬이라고 하자. 이때 $row(A)=row(B)$ 이다.

A

는 기본행연산을 통해

B

로 변환될 수 있다. 다시 말해,

B

의 각 행은

A

의 각 행의 선형결합(Linear Combination)이다.
이는

B

의 각 행의 임의의 선형결합이

A

의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서

row(B) \subset row(A)

.
마찬가지로,

A

의 각 행의 모든 선형결합을

B

의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로

row(A) \subset row(B)

.
위 두 결과에 의해,

row(A)=row(B)

. ■

3.1.2. 본정리의 증명 [편집]

$A$ 가 $m \times n$ 행렬일 때 $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n$ 이다.

4. 선형 변환 버전 [편집]

$V, W$ 가 유한차원 벡터공간이라고 하면, 선형 변환 $T:V\to W$ 에 대해 $\mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\dim V$

4.1. 증명 [편집]

5. 같이 보기 [편집]

가역행렬의 기본정리

[1] 영어로는 Dimension Theorem, Rank Theorem, Rank-Nullity Theorem 등으로 부른다.[2] 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.[3] 대소문자에 주의할 것.

\mathrm{Im}(A)

라고 쓰면 허수부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를

\Im \left(A\right)

로 쓰기도 한다.[4] 벡터공간 V에 대해 V의 차원을

\dim(V)

로 표기한다.[5] 영벡터[6] 즉 dim(null(A))=nullity(A)[7] free variables의 개수[8] 기본행연산을 통해 서로 변환될 수 있는 관계