산술·기하 평균 부등식

漢: 算術·幾何 平均 不等式 / En: Arithmetic Mean-Geometric Mean (AM-GM or AMGM) inequality

절대부등식의 하나로, 코시-슈바르츠 부등식과 함께 고등학교 교육과정에 포함되어 있다. 까다로운 최대/최솟값 문제를 풀 때 심심치 않게 쓴다.

Arithmetic Mean
$\displaystyle AM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i=\frac{1}{n}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$
가장 일반적으로 사람들이 생각하는 평균으로 다 합쳐서 개수만큼 나눠서 얻을 수 있다. 각각의 관찰값 a들의 총합을 n으로 나눈 값이라고 말하기도 한다. 어찌보면 당연한 사실이겠지만 모든 관찰값들에 동일하게 임의의 x값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 뒤 다시 평균을 내면 평균에도 동일한 값이 계산된 결과가 나온다.

Geometric Mean
$\displaystyle GM=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
숫자들을 모두 곱해서 n 제곱근을 취해서 얻는 평균.

기하 평균은 예를 들어 연간 경제성장률, 물가인상율, 연간 이자율, 감쇠/증폭율, 백분비, 크기 확대 비율 같이 표본들이 비율이나 배수이고 각 표본값이 연속성/연계성이 있어서 표본들을 곱한 값이 의미가 있는 경우에 주로 쓰인다. 예를 들어 한국의 2000 년 부터 2010년까지 평균경제성장률 등.

$n$개의 수 $a_1,a_2,\cdots,a_n$가 모두 양수라 하자. 그러면,
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}$
가 성립한다. 단, 등호는 $a_1=a_2=\cdots=a_n$일 때만 성립.

고등수준에서 알기 쉽게 설명한 영상

워낙 유명한 절대부등식이기 때문에 매우 많은 증명이 존재하는데 보통 수학적 귀납법을 사용한다. 아래의 증명은 코시가 1821년에 쓴 Cours d'Analyse에 나오는 증명으로 흔히 아는 'n=1에서 성립하고, n에서 성립하면 n+1에서 성립한다' 보다 조금 더 복잡하다. 물론 그냥 귀납법으로 증명하는 것도 가능하다. 위키백과만 뒤져봐도 2가지 서로 다른 증명이 나온다.

① $n=1$일 때는 당연하고, 자주 이용할 $n=2$일 때를 보자. 이 때 증명하고자 하는 것은
$\frac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2}$, 즉 이는 $\frac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}\right)^2\geq0$
이므로 성립한다.

② $n$일 때 성립하면 $2n$일 때 성립함을 보이자. $2n$개의 양수를 $a_1,a_2,\cdots,a_{2n}$라 하자. 가정에 의해,
$m_1=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq g_1=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}$
$m_2=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}}{n}\geq g_2=\left(a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\right)^\frac{1}{n}$
의 두 부등식이 성립한다. 또한, 우리는 $n=2$일 때의 산술·기하 평균 부등식을 사용 가능하다.
$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n}=\frac{m_1+m_2}{2}\geq\frac{g_1+g_2}{2}\geq\left(g_1g_2\right)^\frac{1}{2}=\left(a_1a_2\cdots a_{2n}\right)^\frac{1}{2n}$
따라서, $n$일 때 성립하면 $2n$일 때도 성립한다.

③ $n$일 때 성립하면 $n-1$일 때 성립함을 보이자. 임의의 $n-1$개의 수 $a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$에 대해, $a_n$을 저 $n-1$개의 수의 산술평균으로 두자. 그리고 전체 $n$개의 수의 산술평균을 계산하면
$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\,\left(=a_n\right)$이 되어, 원래 $n-1$개 수의 산술평균과 같은 값임을 알 수 있다. 또한, $n-1$개 수의 기하평균을 $g$로 두자.

이제 보이고자 하는 것은 $a_n\geq g$인데, 가정에 의해 n개의 수에 대해 산술·기하 평균 부등식이 성립하므로
$a_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}={a_n}^{\frac{1}{n}}g^\frac{n-1}{n}$
즉 $a_n\geq {a_n}^\frac{1}{n}g^\frac{n-1}{n}$이고, ${a_n}^\frac{n-1}{n}\geq g^\frac{n-1}{n}$, $a_n\geq g$이다.
따라서 $n$에서 성립하면 $n-1$일 때도 성립한다.

①②③에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 성립한다. 왜냐하면, ②에 의해 $2^m$꼴의 모든 자연수에 대해서 성립하며, ③에 의해 $2^m$보다 작은 모든 자연수에 대해서 성립하게 되는데, 모든 자연수는 자신보다 큰 $2^m$꼴의 자연수를 당연히 가지기 때문이다.

자연로그의 밑 $e$를 이용한 증명도 존재한다.
$e^{x-1} \ge x$를 이용하는데, 이는 $f(x)=e^{x-1}-x$로 놓고 $f'(x)$를 통하여 증명 가능하다.
$X=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ 라 하면 다음이 성립한다.
$e^{\frac{a_1}{X}-1} \ge \frac{a_1}{X}$
$e^{\frac{a_2}{X}-1} \ge \frac{a_2}{X}$
$\cdots$
$e^{\frac{a_n}{X}-1} \ge \frac{a_n}{X}$ 에서 이를 모두 곱하면
$e^{\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n} \ge \frac{a_1}{X} \frac{a_2}{X} \cdots \frac{a_n}{X}$
이때 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n=n-n=0$
따라서 $e^0=1 \ge \frac{a_1a_2\cdots a_n}{X^n}$
$X^n \ge a_1a_2\cdots a_n$
$\therefore \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \ge \left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}$

이 부등식을 이용하여 최대값 혹은 최소값을 구하는 경우는, 다음과 같은 경우이다.

간혹 위 상황에 해당하지 않는데 부등식을 적용한 후 등호 조건을 이용하여 최대/최소값을 구하는 경우가 있는데, 이는 오답이 나온다. 자세한 정보는 이 글을 참고.

역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.

대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업 논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다.
$\frac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\frac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)^\frac{1}{n}$
양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어 있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.