대수 다양체

부분적으로 다항식들로 되어있는 방정식들의 영점 집합처럼 나타나는 공간을 뜻한다.

대수기하학에서 가장 많이 연구의 대상이 되는 것은 대수적 다양체이다. 간단하게 정의하자면, 먼저 $k$를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 $S$를 $k\left[x_1,\cdots,x_n\right]$의 부분집합이라 하자. 그러면

$Z\left(S\right)=\left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in k^n|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }f\in S\right\}$

꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology 라고 한다. 이는 아주 잘 정의된다. 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[1]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다.[2] 이렇게 정의하는 이유는 이를 환에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 다시 말하자면, 어떤 algebraic set $X$가 있을 때

$I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in X\right\}$
라고 정의하자. 그렇다면,

$I\left(Z\left(S\right)\right)=\sqrt{\overline{S}}$
라는 게 알려져 있다.[3]여기에서 $\overline{S}$는 $S$로 generated되는 $k\left[x_1,\cdots,x_n\right]$의 ideal이고, $\sqrt{}$는 radical이라고 해서 $I$가 $k\left[x_1,\cdots,x_n\right]$의 ideal이라면
$\sqrt{I}=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f^n\in I \text{ for some }n\right\}$
으로 정의한다. 그리고 $Z\left(S\right)$가 algebraic variety라는 것은 $\overline{S}$가 prime ideal이란 것과 동치다. $k\left[x_1,\cdots,x_n\right]$의 prime ideal $P$에 대해서 다음이 성립한다.
$I\left(Z\left(P\right)\right)=P$
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[4]

그렇다면, 어떤 algebraic variety가 있을때 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까? 그 algebraic variety가 prime ideal $P$로 표현된다면

$\Gamma\left(Z\left(X\right)\right)=k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P$
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety $Z\left(P\right)$와 일대일 대응을 이룬다. 이것의 의미는 $f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P$이고 $\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in Z\left(P\right)$일 때 $f\left(a_1,\cdots,a_n\right)$이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 $X$에서 $k$로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 $\Gamma\left(Z\left(P\right)\right)$의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 $U$가 $Z\left(P\right)$의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
$O_{Z\left(P\right)}\left(U\right)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]\text{ and }g\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in U\right\}$
그리고 모든 $U$에 대해서 이런 꼴들의 환들을 모아놓은 것을 $Z\left(P\right)$의 structure sheaf라고 한다.

대수 다양체의 성질을 연구하는 분야가 대수기하학이다. 대수 기하학은 대수학, 기하학, 해석학, 위상수학, 정수론(대수적 정수론, 해석적 정수론),미분기하학, 심지어 논리학이나 이산수학 등 수학 전 분야에 폭넓게 응용된다. 통계학이나 확률론에도 응용되는지 궁금하다.

에탈 코호몰로지(etal cohomology)란 베유 추측을 풀기 위해 개발된 대수 기하학의 개념으로 간단히 말해서 실수체가 아닌 임의의 field 에서 cohomology를 정의한 것이다. 축약해서 설명한 것이므로 자세한 내용은 에탈 코호몰로지 문서 참조