1의 거듭제곱근

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복소평면에 표시한 1의 7제곱근 z0∼z6\boldsymbol{z_{0} \sim z_{6}}[1]

목차
1. 소개2. 정의3. 1의 제곱근4. 1의 세제곱근5. 1의 네제곱근6. 1의 n제곱근7. 성질8. 관련 개념들

1. 소개 [편집]

1의 거듭제곱근(Root of unity)[2]은 연산이 정의된 군의 개념으로, 해당 연산을 유한 번 거듭하여 항등원을 얻을 수 있는 원소들을 일컫는다. 이 개념을 복소수의 곱셈 군 (C×, ⋅ )(\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ )에 한정하여 생각하기도 한다.

2. 정의 [편집]

1의 거듭제곱근(Root of unity)
군 (G, ⋅ )(G, \ \cdot \ )과 원소 a∈Ga \in G가 주어져 있을 때,

gn=ag^n = a

인 원소 g∈Gg \in G를 aa의 거듭제곱근(Root of aa) 혹은 제곱의 수를 강조하여 a\boldsymbol a의 n\boldsymbol{n}제곱근(nnth root of aa)이라고 한다. 특히, aa가 군 (G, ⋅ )(G, \ \cdot \ )의 항등원 1인 경우[3] g∈Gg \in G를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 nn제곱근(nnth root of unity)이라고 한다.

1의 거듭제곱근(Root of unity)
zn=1z^n = 1인 복소수 z∈Cz \in \mathbb C를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 n\boldsymbol{n}제곱근(n\boldsymbol{n}th root of unity)이라고 한다.
위에서 정의한 일반적인 군 (G, ⋅ )(G, \ \cdot \ )를 곱셈군 (C×, ⋅ )(\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ )로 한정한 버전이다. 물론 1이 아닌 임의의 복소수 a∈Ca \in \mathbb C의 nn제곱근도 생각할 수 있지만, 이는 a∈Ca \in \mathbb C의 한 nn제곱근에 1의 nn제곱근들을 곱한 형태로 전부 표현 가능하다. 그렇기 때문에 1의 nn제곱근들은 본질적인 거듭제곱근으로서의 의미를 가진다. 아래 예시는 전부 복소수체(의 부분군)에서 계산한 1의 거듭제곱근들이다.

3. 1의 제곱근 [편집]

z2=1⇔(z−1)(z+1)=0⇔z=±1​\begin{aligned} z^2 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow z =\pm 1 \end{aligned}​

4. 1의 세제곱근 [편집]

z3=1⇔(z−1)(z2+z+1)=0⇔z=1 or z=−1±3i2​\begin{aligned} z^3 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \ \mathsf{or} \ z = \dfrac {-1 \pm \sqrt 3i}2 \end{aligned}​

5. 1의 네제곱근 [편집]

z4=1⇔(z−1)(z+1)(z−i)(z+i)=0⇔z=±1 or z=±i​\begin{aligned} z^4 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0 \\ & \Leftrightarrow z = \pm 1 \ \mathsf{or}\ z = \pm i \end{aligned}​

6. 1의 n제곱근 [편집]

방정식 zn=1​z^n = 1​의 양 변의 절대값을 비교하면, ∥z∥=1​\lVert z\rVert = 1​이므로 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta라고 쓸 수 있다. 드 무아브르 공식에 의해,

1=zn=cos⁡nθ+isin⁡nθ\begin{aligned} 1 &= z^n \\&= \cos n\theta + i\sin n\theta \end{aligned}

을 얻는다. 이 식이 성립하려면, nθ=2kπn\theta = 2k\pi 즉 ∃k∈z s.t. θ=2kπ/n\exists k \in \mathbb{z} \, \mathsf{s.t.} \, \theta = 2k\pi/n 이어야만 한다. 중복근을 전부 제외하면

z=cos⁡2kπn+isin⁡2kπn=cis(2kπn)  (0≤k<n)\begin{aligned} z &= \cos\dfrac {2k\pi}n + i\sin\dfrac {2k\pi}n \\&= {\rm cis}{\left(\dfrac {2k\pi}n \right)} \; ( 0 \leq k < n) \end{aligned}

이 모든 1의 nn제곱근이다. cis{\rm cis}는 허수지수함수이다.

7. 성질 [편집]

1의 n\boldsymbol{n}제곱근으로 구성된 군(Group of nnth roots of unity)
가환군 GG에서, 1[4]의 nn제곱근들을 모은 부분집합은 부분군을 이룬다. 이를 1의 nn제곱근으로 구성된 군(Group of nnth roots of unity)이라고 한다.

[ 증명 ]

1의 nn제곱근들을 모은 부분집합을 GnG_n이라 하자.
  • GnG_n이 GG로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
    • g,h∈Gng, h \in G_n이면, gn=hn=1g^n = h^n = 1이므로 (gh)n=1(gh)^n = 1[5], 즉 gh∈Gngh \in G_n.
  • GnG_n은 GG의 항등원 1을 포함.
    • 1n=11^n = 1이므로 1∈G1 \in G.
  • 임의의 GnG_n의 원소는 역원을 가짐.
    • g∈Gng \in G_n이면, (g−1)n=gn(g−1)n=1(g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1이므로 g−1∈Gng^{-1} \in G_n.
여기서 GG가 가환군이 아니면 위 명제는 성립하지 않는다. 실제로, 다음과 같은 반례가 존재한다. 2×22 \times 2 행렬들의 집합 M2,2(R)\mathfrak M_{2, 2}(\mathbb R)을 생각하자. 여기서 역행렬이 존재하는 행렬들은, 행렬 곱셈에 대하여 일반선형군 GL2(R)\mathbf{GL}_2(\mathbb R)을 이룬다. 그런데,

[110−1]2=[−1101]2=[1001]​\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}​

이지만

[110−1]⋅[−1101]=[−120−1][−120−1]2≠[1001]​ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 &\neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}​ \end{aligned}

이다. 즉, GL2(R)\mathbf{GL}_2(\mathbb R)에서 1의 제곱근들은 군을 이루지 않는다.

1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)
가환군 GG에서, 1의 모든 거듭제곱근들을 모은 부분집합[6]은 부분군을 이룬다. 이를 1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)이라고 한다.

[ 증명 ]

바로 윗 명제의 증명에서 GnG_n을 생각할 때, G∗=⋃n∈NGn\displaystyle G^{\ast} = \bigcup_{n \in\mathbb N}G_n이 GG의 부분군임을 보이면 충분하다.
  • G∗G^{\ast}가 GG로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
    • g,h∈G∗g, h \in G^{\ast}이면, 적당한 m,n∈Nm, n \in\mathbb N에 대하여 gm=hn=1g^m = h^n = 1이므로 (gh)mn=1(gh)^{mn} = 1, 즉 gh∈Gmn⊂G∗gh \in G_{mn} \subset G^{\ast}.
  • G∗G^{\ast}은 GG의 항등원 1을 포함.
    • 11=11^1 = 1이므로 1∈G1⊂G∗1 \in G_1 \subset G^{\ast}.
  • 임의의 G∗G^{\ast}의 원소는 역원을 가짐.
    • g∈Gn⊂G∗g \in G_n \subset G^{\ast}이면, (g−1)n=gn(g−1)n=1(g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1이므로 g−1∈Gn⊂G∗g^{-1} \in G_n \subset G^{\ast}.

또한 복소평면에서 1의 제곱근은 원점에 대칭인 선분이며, n≥3n \geq 3인 nn제곱근은 원점을 중심으로 한 정nn각형을 그린다. 또한 정다각형의 꼭짓점이 원 위에 있다는 성질[7]을 이용해서 1의 nn제곱근의 값을 띠는 점을 작도하는 게 가능하다.[8]

8. 관련 개념들 [편집]

1의 원시근(Primitive root of unity)
군 (G, ⋅ )(G, \ \cdot \ )과 자연수 nn이 주어져 있을 때,

gn=1g^n = 1, gm≠1  (0<m<n)g^m \neq 1 \; (0 < m < n) [9]

인 원소 g∈Gg \in G를 원시근(Primitive root), 1의 원시근(Primitive root of unity) 혹은 1의 n\boldsymbol n차 원시근(Primitive n\boldsymbol nth root of unity)이라고 한다.
[1] 각각은 zn=cos⁡(2πn7)+isin⁡(2πn7)z_{n}=\cos{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}+i \sin{\left( \dfrac{2\pi n}{7}\right)}이다. 간단히 cis(2πn7){\rm cis}{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}로 적기도 한다.[2] 단위근(Unit root), 드 무아브르 수(de Moivre number)라고도 한다.[3] 곱셈군 (G, ⋅ )(G, \ \cdot \ )를 다룰 때는 관습적으로 항등원을 ee가 아닌 1로 적는다. 비슷하게, 덧셈군 혹은 가환군 (G,+)(G, +)의 항등원은 00으로 적는 경우가 많다.[4] 항등원. 보통 가환군의 항등원은 00으로 적지만 본 문서에서 모든 군의 항등원을 1로 표기했으므로 이에 따른다.[5] 이 부분에서 GG가 가환군임이 필요하다.[6] 즉, 1제곱근, 22제곱근, ⋯\cdots, nn제곱근, ⋯\cdots 등을 전부 모은다.[7] 곧, 원점과의 거리(= 절댓값)가 1임을 뜻한다. 그래서 1의 거듭제곱근 zz에 부호 함수를 취할 경우 sgn(z)=z{\rm sgn}(z) = z가 성립한다.[8] 단, n=7n=7 같이 작도가 불가능한 경우도 있다.[9] 즉, nn이 gk=1g^k = 1을 만족하는 최소의 자연수.

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