나머지 정리

1. 개요2. 나머지 정리3. 활용4. 관련 항목

Polynomial Remainder Theorem

1. 개요 [편집]

고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수

b

를

a

로 나누었을 때 (

b\geq a

),

b=aq+r

(

0\leq r<a

)를 만족하는 정수

q,r

이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.

정식 $B\left(x\right)$ 를 정식 $A\left(x\right)$ 로 나누었을 때 ( $\deg B\left(x\right)\geq\deg A\left(x\right)$ ), $B\left(x\right)=A\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right),\,\left(0\leq\deg R\left(x\right)<\deg A\left(x\right)\right)$ 를 만족시키는 정식 $Q\left(x\right),R\left(x\right)$ 가 유일하게 존재한다. 이 때, $Q\left(x\right)$ 를 몫, $R\left(x\right)$ 를 나머지라고 한다

나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.

2. 나머지 정리 [편집]

$x$ 에 대한 다항식 $f\left(x\right)$ 를 일차식 $x-a$ 로 나누었을 때의 나머지는 $f\left(a\right)$ 이다.

위 정리는 일반적인 일차식

ax+b

에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.

$x$ 에 대한 다항식 $f\left(x\right)$ 를 일차식 $ax+b$ 로 나누었을 때의 나머지는 $f\left(-\frac{b}{a}\right)$ 이다.

3. 활용 [편집]

나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수

a

를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식

f\left(x\right)

는

x-a

를 인수로 가진다.[1] 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조.

4. 관련 항목 [편집]

[1] 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.