망원급수

Telescoping series

1. 개요2. 상세3. 예시4. 기타

1. 개요 [편집]

망원급수란 급수에서 이웃한 항들이 서로 상쇄되면서 몇 개의 항만 남고 전부 사라지는 것을 말한다. 급수를 망원급수의 형태로 바꾸면 그 합을 간단히 계산할 수 있다.

수열

\left\{a_n\right\}

이 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - a_{N+1}

여기서

\left\{a_n\right\}

이 특정값

L

로 수렴한다면 다음과 같이 급수가 계산된다.

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - L

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \left(1 - \frac{1}{N+1} \right) =1$

$\displaystyle \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) =\frac{1}{2 \sin \frac{1}{2}} \sum_{n=1}^N \left\{\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2} \csc\frac{1}{2} \left\{\cos\frac{1}{2} -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right\}$

유명한 급수 중 그란디 급수라는 것이 있는데, 어떤 망원급수를 취하느냐에 따라 값이 달라진다. 자세한 내용은 문서 참조.